舒尔补（Schur Complement）

一、背景与动机（为什么要用舒尔补）

在处理分块矩阵（block matrix）时，经常需要“消去”某个分块，从而把问题降为对较小矩阵的运算。舒尔补提供了把一个2×22\times22×2分块矩阵的逆、行列式、正定性等性质归结到其一个分块及其所谓“补矩阵”的工具。它在线性代数、数值求解（高效求解线性方程）、统计（高斯条件分布与边缘化）、优化（半正定规划）、图模型与控制中被广泛使用。

二、定义

设矩阵分块如下（矩阵元域为实数或复数）：

M=[ABCD], M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix},M=[AC​BD​],

其中AAA为n×nn\times nn×n方块，DDD为m×mm\times mm×m方块，BBB为n×mn\times mn×m，CCC为m×nm\times nm×n。

• 若AAA可逆，则称
  SD∣A:=D−CA−1B S_{D|A} := D - C A^{-1} BSD∣A​:=D−CA−1B
  为以AAA为主块的舒尔补（Schur complement），也常记作M/AM/AM/A或D−CA−1BD - C A^{-1} BD−CA−1B。

• 若DDD可逆，则称
  SA∣D:=A−BD−1C S_{A|D} := A - B D^{-1} CSA∣D​:=A−BD−1C
  为以DDD为主块的舒尔补，常记作M/DM/DM/D或A−BD−1CA - B D^{-1} CA−BD−1C。

注：上下标或竖线表示“消去”哪个主块，例如SD∣AS_{D|A}SD∣A​表示“相对于AAA的DDD的舒尔补”。

三、块矩阵求逆（Schur 补的基本恒等式）

若AAA可逆且舒尔补SD∣AS_{D|A}SD∣A​也可逆，则分块逆的公式为：

M−1=[ABCD]−1[A−1+A−1BSD∣A−1CA−1−A−1BSD∣A−1SD∣A−1CA−1SD∣A−1].(1) M^{-1} = \begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1} B S_{D|A}^{-1} C A^{-1} & - A^{-1} B S_{D|A}^{-1} \\ S_{D|A}^{-1} C A^{-1} & S_{D|A}^{-1} \end{bmatrix}. \tag{1}M−1=[AC​BD​]−1[A−1+A−1BSD∣A−1​CA−1SD∣A−1​CA−1​−A−1BSD∣A−1​SD∣A−1​​].(1)

相对对称地，若DDD可逆且SA∣DS_{A|D}SA∣D​可逆，也有：

M−1=[SA∣D−1−SA∣D−1BD−1D−1CSA∣D−1D−1+D−1CSA∣D−1BD−1].(2) M^{-1} = \begin{bmatrix} S_{A|D}^{-1} & - S_{A|D}^{-1} B D^{-1} \\ D^{-1} C S_{A|D}^{-1} & D^{-1} + D^{-1} C S_{A|D}^{-1} B D^{-1} \end{bmatrix}. \tag{2}M−1=[SA∣D−1​D−1CSA∣D−1​​−SA∣D−1​BD−1D−1+D−1CSA∣D−1​BD−1​].(2)

推导（基于分块乘法与代数消去）

从定义MM−1=IM M^{-1} = IMM−1=I，设

M−1=[XYZW], M^{-1} = \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W \end{bmatrix},M−1=[XZ​YW​],

则由块乘法得到线性方程组：

{AX+BZ=I,AY+BW=0,CX+DZ=0,CY+DW=I. \begin{cases} AX + BZ = I, \\ AY + BW = 0, \\ CX + DZ = 0, \\ CY + DW = I. \end{cases}⎩⎨⎧​AX+BZ=I,AY+BW=0,CX+DZ=0,CY+DW=I.​

假定AAA可逆。由第三式CX+DZ=0CX + DZ = 0CX+DZ=0得

CZ=−CX⟹Z=−D−1CX（若 D 可逆）, CZ = -CX \quad\Longrightarrow\quad Z = -D^{-1} C X \quad\text{（若 $D$ 可逆）},CZ=−CX⟹Z=−D−1CX（若D可逆）,

但更直接的消去法：从第一式解XXX（以ZZZ表示）并将XXX代入第三式，可以得到关于ZZZ的方程。更标准的做法是如下：

• 从第三式解出ZZZ为Z=−D−1CXZ = -D^{-1} C XZ=−D−1CX需要D−1D^{-1}D−1，不方便。取另一条路径：

从第一式写出

AX=I−BZ⟹X=A−1−A−1BZ. AX = I - BZ \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1} - A^{-1} B Z.AX=I−BZ⟹X=A−1−A−1BZ.

代入第三式:

C(A−1−A−1BZ)+DZ=0 C(A^{-1} - A^{-1} B Z) + D Z = 0C(A−1−A−1BZ)+DZ=0

整理得

(D−CA−1B)Z=−CA−1. \big( D - C A^{-1} B \big) Z = - C A^{-1}.(D−CA−1B)Z=−CA−1.

若SD∣A=D−CA−1BS_{D|A} = D - C A^{-1} BSD∣A​=D−CA−1B可逆，则

Z=−SD∣A−1CA−1. Z = - S_{D|A}^{-1} C A^{-1}.Z=−SD∣A−1​CA−1.

再代回得到

X=A−1+A−1BSD∣A−1CA−1, X = A^{-1} + A^{-1} B S_{D|A}^{-1} C A^{-1},X=A−1+A−1BSD∣A−1​CA−1,

类似地可推导YYY与WWW，从而得到公式 (1)。上述步骤严格且直接体现了舒尔补的概念：在“消去”AAA之后，剩下的等价线性系统涉及的矩阵正是SD∣AS_{D|A}SD∣A​。

四、行列式与舒尔补的恒等式

若AAA可逆，则

det⁡(M)=det⁡(A)det⁡(D−CA−1B)=det⁡(A)det⁡(SD∣A).(3) \det(M) = \det(A)\det\big( D - C A^{-1} B \big) = \det(A)\det(S_{D|A}). \tag{3}det(M)=det(A)det(D−CA−1B)=det(A)det(SD∣A​).(3)

对称地，若DDD可逆，则

det⁡(M)=det⁡(D)det⁡(A−BD−1C)=det⁡(D)det⁡(SA∣D).(4) \det(M) = \det(D)\det\big( A - B D^{-1} C \big) = \det(D)\det(S_{A|D}). \tag{4}det(M)=det(D)det(A−BD−1C)=det(D)det(SA∣D​).(4)

推导（基于块上三角化）

把MMM分解为块下三角乘以块上三角（块 Gaussian 消元）：

[ABCD]=[I0CA−1I][AB0SD∣A], \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & S_{D|A} \end{bmatrix},[AC​BD​]=[ICA−1​0I​][A0​BSD∣A​​],

两边取行列式，利用det⁡(I)=1\det(I)=1det(I)=1, 以及det⁡\detdet的乘积性质，得到 (3)。

基于块高斯消元的构造性推导（从消去CCC出发）

从原矩阵
M=[ABCD], M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix},M=[AC​BD​],
目标是通过左乘一个下三角块矩阵将其化为上三角形式，从而得到LULULU分解。构造如下下三角矩阵：
L−1=[I0−CA−1I]. L^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ -C A^{-1} & I \end{bmatrix}.L−1=[I−CA−1​0I​].
注意L−1L^{-1}L−1是可逆的，下三角且对角为单位元，其逆恰为
L=(L−1)−1=[I0CA−1I]. L = (L^{-1})^{-1} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ C A^{-1} & I \end{bmatrix}.L=(L−1)−1=[ICA−1​0I​].

现在左乘L−1L^{-1}L−1消去CCC：
L−1M=[I0−CA−1I][ABCD]=[AB−CA−1A+C−CA−1B+D]. L^{-1} M= \begin{bmatrix} I & 0 \\ -C A^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ -C A^{-1}A + C & -C A^{-1} B + D \end{bmatrix}.L−1M=[I−CA−1​0I​][AC​BD​]=[A−CA−1A+C​B−CA−1B+D​].
简化得到
L−1M=[AB0D−CA−1B]=[AB0SD∣A]=U. L^{-1} M = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D - C A^{-1} B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & S_{D|A} \end{bmatrix} =U.L−1M=[A0​BD−CA−1B​]=[A0​BSD∣A​​]=U.
于是重排可得所需分解
M=LU. M = L U.M=LU.

这一过程即为对第一列块做一次块 Gaussian 消元：用第 1 块行消去第 2 块行的左下块，从而得到上三角块矩阵UUU，同时左侧的消元矩阵的逆即为LLL。

对存在性与可逆性的说明

• 该构造要求AAA可逆（以便定义A−1A^{-1}A−1）。若AAA不可逆但DDD可逆，可采用对称方法先以DDD为主块消去，获得另一种LULULU分解（交换角色）。
• 若AAA与SD∣AS_{D|A}SD∣A​都可逆，则LLL与UUU都可逆，从而MMM可逆；且可据此得到M−1=U−1L−1M^{-1}=U^{-1} L^{-1}M−1=U−1L−1，并由上节的直接推导推得分块逆公式。

推论：行列式因子化（简单而重要的结果）

由分解M=LUM = L UM=LU且LLL为单位下三角块矩阵（对角块均为III），故det⁡(L)=1\det(L)=1det(L)=1，因此
det⁡(M)=det⁡(L)det⁡(U)=1⋅det⁡(U). \det(M) = \det(L)\det(U) = 1 \cdot \det(U).det(M)=det(L)det(U)=1⋅det(U).
而上三角块矩阵UUU的行列式等于对角块行列式的乘积：
det⁡(U)=det⁡(A)det⁡(SD∣A). \det(U) = \det(A)\det\big(S_{D|A}\big).det(U)=det(A)det(SD∣A​).
于是得出常用恒等式
det⁡(M)=det⁡(A)det⁡(D−CA−1B). \det(M) = \det(A)\det\big(D - C A^{-1} B\big).det(M)=det(A)det(D−CA−1B).

五、正定性（PSD/PD）与舒尔补

舒尔补与对称正定（symmetric positive definite，SPD）有密切关系。设MMM为对称块矩阵（方域为R\mathbb{R}R）：

M=[ABB⊤D], M = \begin{bmatrix} A & B \\ B^\top & D \end{bmatrix},M=[AB⊤​BD​],

其中AAA与DDD对称。则以下等价关系成立（假设AAA可逆）：

• M≻0M \succ 0M≻0（即MMM正定）当且仅当A≻0A \succ 0A≻0且SD∣A=D−B⊤A−1B≻0S_{D|A} = D - B^\top A^{-1} B \succ 0SD∣A​=D−B⊤A−1B≻0。

对称地（假设DDD可逆）：

• M≻0M \succ 0M≻0当且仅当D≻0D \succ 0D≻0且SA∣D=A−BD−1B⊤≻0S_{A|D} = A - B D^{-1} B^\top \succ 0SA∣D​=A−BD−1B⊤≻0。

证明要点（用二次型）

对任意向量(x,y)(x,y)(x,y)有

[x⊤y⊤][ABB⊤D][xy]=x⊤Ax+2x⊤By+y⊤Dy. \begin{bmatrix} x^\top & y^\top \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ B^\top & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = x^\top A x + 2 x^\top B y + y^\top D y.[x⊤​y⊤​][AB⊤​BD​][xy​]=x⊤Ax+2x⊤By+y⊤Dy.

令x′=x+A−1Byx' = x + A^{-1} B yx′=x+A−1By，化简可得：

x⊤Ax+2x⊤By+y⊤Dy=x′⊤Ax′+y⊤(D−B⊤A−1B)y. x^\top A x + 2 x^\top B y + y^\top D y = {x'}^\top A x' + y^\top (D - B^\top A^{-1} B) y.x⊤Ax+2x⊤By+y⊤Dy=x′⊤Ax′+y⊤(D−B⊤A−1B)y.

因此若A≻0A \succ 0A≻0, positivity of the whole quadratic form for all(x,y)(x,y)(x,y)is equivalent toSD∣A≻0S_{D|A} \succ 0SD∣A​≻0.

六、舒尔补在求解线性系统中的作用（消去与分块求解）

考虑线性系统

[ABCD][xy]=[fg]. \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix}.[AC​BD​][xy​]=[fg​].

若AAA可逆，可按如下步骤解：

1. 由第一行得到

Ax+By=f⟹x=A−1(f−By). A x + B y = f \quad\Longrightarrow\quad x = A^{-1}(f - B y).Ax+By=f⟹x=A−1(f−By).

2. 代入第二行：

CA−1(f−By)+Dy=g C A^{-1}(f - B y) + D y = gCA−1(f−By)+Dy=g

整理为关于yyy的线性方程：

(D−CA−1B)y=g−CA−1f, \big( D - C A^{-1} B \big) y = g - C A^{-1} f,(D−CA−1B)y=g−CA−1f,

即

SD∣Ay=g−CA−1f.(5) S_{D|A} y = g - C A^{-1} f. \tag{5}SD∣A​y=g−CA−1f.(5)

解出yyy（通过求解关于舒尔补的系统），然后回代得到xxx：

x=A−1(f−By). x = A^{-1}(f - B y).x=A−1(f−By).

该方法等价于对原系统先做一次块 Gaussian 消元，消去xxx，降低问题规模。

七、概率与统计中的解释：高斯分布的条件协方差与舒尔补

设随机向量[XY]\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}[XY​]服从均值μ\muμ、协方差矩阵Σ\SigmaΣ的多元高斯分布，其中协方差按块分解为

Σ=[ΣXXΣXYΣYXΣYY]. \Sigma = \begin{bmatrix} \Sigma_{XX} & \Sigma_{XY} \\ \Sigma_{YX} & \Sigma_{YY} \end{bmatrix}.Σ=[ΣXX​ΣYX​​ΣXY​ΣYY​​].

则给定Y=yY=yY=y时的条件协方差为

Cov(X∣Y)=ΣXX−ΣXYΣYY−1ΣYX, \mathrm{Cov}(X \mid Y) = \Sigma_{XX} - \Sigma_{XY} \Sigma_{YY}^{-1} \Sigma_{YX},Cov(X∣Y)=ΣXX​−ΣXY​ΣYY−1​ΣYX​,

即恰为Σ\SigmaΣ相对于ΣYY\Sigma_{YY}ΣYY​的舒尔补（或常写作ΣXX−ΣXYΣYY−1ΣYX\Sigma_{XX} - \Sigma_{XY}\Sigma_{YY}^{-1}\Sigma_{YX}ΣXX​−ΣXY​ΣYY−1​ΣYX​）。这解释了为什么舒尔补在统计学中等价于“消除变量得到的条件/边缘协方差”。

另外，精度矩阵（inverse covariance，信息矩阵）分块的条件也可用舒尔补表述，且在图模型（Gaussian Markov random fields）中非常常见。

八、半正定规划（SDP）与 Schur Complement Lemma

在凸优化，尤其是半正定规划中，舒尔补引理是将线性矩阵不等式（LMI）中“矩阵条件”与舒尔补正定性等价转化的基础工具。典型形式：

若A≻0A \succ 0A≻0，则约束

[ABB⊤D]⪰0 \begin{bmatrix} A & B \\ B^\top & D \end{bmatrix} \succeq 0[AB⊤​BD​]⪰0

等价于

A≻0且D−B⊤A−1B⪰0. A \succ 0 \quad\text{且}\quad D - B^\top A^{-1} B \succeq 0.A≻0且D−B⊤A−1B⪰0.

反之，若D≻0D \succ 0D≻0，可替换为另一个等价条件。这一引理常用于把约束转换为凸可处理形式，以及在求解 SDP 时构造乘子与 KKT 条件。

九、数值与实现层面的注意事项

1. 数值稳定性

   • 直接计算A−1A^{-1}A−1并构造SD∣A=D−CA−1BS_{D|A}=D-C A^{-1} BSD∣A​=D−CA−1B通常不建议（显式求逆数值不稳定）。更稳健的做法是：对AAA做分解（如LULULU或 Cholesky 若AAASPD），利用分解求解与前乘：例如A−1BA^{-1} BA−1B可通过求解方程组AX=BA X = BAX=B获得，而不显式求A−1A^{-1}A−1。

2. 稀疏性

   • 在稀疏矩阵上，计算舒尔补可能导致所谓的填充（fill-in），即产生额外非零元素，增加计算成本。因而在稀疏直接解法中要慎用舒尔补或通过重排序减少填充。

3. 块选择（哪一块作主块）

   • 若AAA比DDD小且条件数较好，通常选择以AAA为主块消去，反之亦然。实际实现中常基于复杂度估计或稀疏图结构选择。

4. 并行与分布式

   • 舒尔补计算常用于域分解（domain decomposition）与分布式求解中（例如把全局问题拆成子问题，每个子问题形成局部 Schur 补然后合并）。

5. 软件实现技巧

   • 使用数值线性代数库（LAPACK/BLAS、Eigen、SuiteSparse 等）做分解与线性求解而非直接求逆。
   • 记录并重用已分解的因子（如果AAA在多次消元中重复使用）。

十、典型应用场景

1. 求解带约束的线性系统（块高斯消元）：如求解 PDE 的离散化、耦合系统、维度分离问题。
2. 矩阵反演（块反演）：快速得到部分逆块（例如得到M−1∗22M^{-1}*{22}M−1∗22即S∗D∣A−1S*{D|A}^{-1}S∗D∣A−1）。
3. 概率/统计：多元高斯条件分布与边缘化（如卡尔曼滤波、图优化中的信息过滤/边缘化）。
4. 控制与估计：线性二次型、Riccati 方程中常见的分块更新。
5. 半正定规划（SDP）与凸优化：用于转换 LMI、建立 KKT 条件。
6. 数值预处理 / Schur 预条件器：用于 Krylov 空间方法（如 GMRES）的预条件化。
7. 分布式/并行求解：域分解法、子结构合并（每个子问题生成局部舒尔补，合并求解全局系统）。

十一、具体数值示例

考虑简单数值例子（用于验证公式 (1)）：

令

A=[2003],B=[10],C=[01],D=[4]. A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix},\quad D = \begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}.A=[20​03​],B=[10​],C=[0​1​],D=[4​].

计算：

• A−1=[1/2001/3]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}A−1=[1/20​01/3​],
• 再算C(A−1B)C(A^{-1}B)C(A−1B)：
  C(A−1B)=[01][120]=0⋅12+1⋅0=0. C\big(A^{-1}B\big)= \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\tfrac12\\0\end{bmatrix} =0\cdot\tfrac12 + 1\cdot 0 = 0.C(A−1B)=[0​1​][21​0​]=0⋅21​+1⋅0=0.
• 舒尔补SD∣A=D−CA−1B=4S_{D|A} = D - C A^{-1} B = 4SD∣A​=D−CA−1B=4.

应用公式 (1) 可得M−1M^{-1}M−1的分块。读者可按需手工代数计算验证。

十二、小结

• 定义：舒尔补把“消去”一个主块得到的新的较小矩阵，用以归约问题。
• 块逆公式：在AAA可逆且舒尔补可逆时公式 (1) 给出M−1M^{-1}M−1的闭式解。
• 行列式：det⁡(M)=det⁡(A)det⁡(SD∣A)\det(M)=\det(A)\det(S_{D|A})det(M)=det(A)det(SD∣A​)，非常有用。
• 正定性：对称情形下，M≻0 ⟺ A≻0M\succ0 \iff A\succ0M≻0⟺A≻0与SD∣A≻0S_{D|A}\succ0SD∣A​≻0同时成立（或对DDD同理）。
• 应用广泛：线性方程、概率条件化、SDP、预条件器、并行/分布式算法等。
• 数值注意：优先用分解求解避免显式求逆，注意稀疏填充与稳定性。

十三、 参考文献与经典教材

1. Horn & Johnson,Matrix Analysis
2. Boyd & Vandenberghe,Convex Optimization, Appendix A
3. Golub & Van Loan,Matrix Computations
4. Kailath,Linear Estimation
5. GTSAM 提示文档：Schur Complement 在 BA 中的使用
6. Ceres Solver:Schur Complement小节
7. Barfoot,State Estimation for Robotics— 信息矩阵边缘化推导