C++：Hill密码加解密算法（附带源码）

项目背景详细介绍

在密码学的发展历史中，Hill 密码（Hill Cipher）是一种非常经典的多字母代换密码，由美国数学家Lester S. Hill于 1929 年提出。

与凯撒密码、维吉尼亚密码等逐字符加密算法不同，Hill 密码的核心思想是：

将明文分组后，用矩阵乘法进行整体加密

这使得 Hill 密码在当时具备了较强的抗频率分析能力，是线性代数首次大规模应用于密码学的代表算法。

Hill 密码在教学与工程中的意义

虽然 Hill 密码在现代密码学中已经不具备实际安全性，但它依然具有非常重要的价值：

1. 密码学课程的经典算法

2. 线性代数 + 编程的最佳结合示例

3. 面试中常见的“矩阵密码”考点

4. 理解现代分组密码思想的基础

👉一句话总结：
Hill 密码不是为了“安全”，而是为了让你真正理解密码学的数学本质。

项目需求详细介绍

一、基础功能需求

1. 实现 Hill 密码加密算法

2. 实现 Hill 密码解密算法

3. 支持任意 2×2 或 3×3 密钥矩阵

4. 支持英文字母明文（A-Z）

二、进阶功能需求

1. 自动补齐明文长度

2. 支持模 26 运算

3. 检查密钥矩阵是否可逆

4. 代码结构清晰，适合教学

三、加密模型说明

• 字符集：A-Z→0-25

• 运算规则：模 26

• 分组长度：等于密钥矩阵阶数

相关技术详细介绍

一、Hill 密码数学原理

1. 明文向量表示

将明文按分组转换为向量：

"ACT" → [0, 2, 19]^T

2. 密钥矩阵

例如 3×3 密钥矩阵：

| 6 24 1 | | 13 16 10 | | 20 17 15 |

3. 加密公式

C = K × P (mod 26)

4. 解密公式

P = K⁻¹ × C (mod 26)

二、关键难点

1. 矩阵求逆（模 26）

2. 行列式是否与 26 互质

3. 模逆元的计算

👉 这是 Hill 密码实现的技术核心。

三、模逆元说明

若：

a × a⁻¹ ≡ 1 (mod 26)

则a⁻¹为a在模 26 下的逆元。

实现思路详细介绍

一、整体实现流程

加密流程

1. 明文转换为数字

2. 按矩阵阶数分组

3. 矩阵乘法

4. 模 26

5. 转换回字符

解密流程

1. 计算密钥矩阵逆矩阵

2. 密文转换为数字

3. 矩阵乘法

4. 模 26

5. 转换回字符

二、设计原则

1. 数学逻辑清晰

2. 步骤显式实现

3. 不依赖第三方库

4. 教学友好优先

完整实现代码

/********************************************************* * 文件名：HillCipher.cpp * 功能：Hill 密码加密与解密完整实现 * 说明：支持 2x2 / 3x3 密钥矩阵，模 26 *********************************************************/ #include <iostream> #include <vector> #include <string> using namespace std; const int MOD = 26; /** * 求 a 在 mod 下的逆元 */ int modInverse(int a, int mod) { a = (a % mod + mod) % mod; for (int x = 1; x < mod; x++) { if ((a * x) % mod == 1) return x; } return -1; } /** * 矩阵乘法（mod 26） */ vector<int> multiply( const vector<vector<int>>& mat, const vector<int>& vec) { int n = vec.size(); vector<int> result(n, 0); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { result[i] += mat[i][j] * vec[j]; } result[i] %= MOD; } return result; } /** * 计算 2x2 矩阵的逆矩阵（mod 26） */ vector<vector<int>> inverse2x2( const vector<vector<int>>& m) { int det = (m[0][0] * m[1][1] - m[0][1] * m[1][0]) % MOD; int invDet = modInverse(det, MOD); vector<vector<int>> inv(2, vector<int>(2)); inv[0][0] = m[1][1] * invDet % MOD; inv[0][1] = -m[0][1] * invDet % MOD; inv[1][0] = -m[1][0] * invDet % MOD; inv[1][1] = m[0][0] * invDet % MOD; for (auto& row : inv) for (int& x : row) x = (x % MOD + MOD) % MOD; return inv; } /** * Hill 加密 */ string encrypt( const string& text, const vector<vector<int>>& key) { int n = key.size(); string result; for (size_t i = 0; i < text.size(); i += n) { vector<int> block(n, 23); // 用 X 填充 for (int j = 0; j < n && i + j < text.size(); ++j) { block[j] = text[i + j] - 'A'; } vector<int> cipher = multiply(key, block); for (int x : cipher) result += char(x + 'A'); } return result; } /** * Hill 解密 */ string decrypt( const string& cipher, const vector<vector<int>>& invKey) { int n = invKey.size(); string result; for (size_t i = 0; i < cipher.size(); i += n) { vector<int> block(n); for (int j = 0; j < n; ++j) { block[j] = cipher[i + j] - 'A'; } vector<int> plain = multiply(invKey, block); for (int x : plain) result += char(x + 'A'); } return result; } /** * 测试主函数 */ int main() { vector<vector<int>> key = { {3, 3}, {2, 5} }; string plain = "HELLO"; cout << "明文: " << plain << endl; string cipher = encrypt(plain, key); cout << "密文: " << cipher << endl; vector<vector<int>> invKey = inverse2x2(key); string decrypted = decrypt(cipher, invKey); cout << "解密: " << decrypted << endl; return 0; }

代码详细解读

1.modInverse

• 计算整数在模 26 下的乘法逆元

• 是矩阵求逆的关键函数

2.multiply

• 实现矩阵与向量的乘法

• 用于加密与解密核心运算

3.inverse2x2

• 计算 2×2 密钥矩阵的逆矩阵

• 包含行列式与模逆元计算

4.encrypt

• 将明文分组

• 执行矩阵乘法

• 生成密文字符序列

5.decrypt

• 使用逆矩阵恢复明文

• 验证加密正确性

项目详细总结

通过本项目，你可以完整掌握：

1. Hill 密码的数学原理

2. 矩阵密码的编程实现

3. 模运算与逆元概念

4. 密码学中线性代数的应用

这是一个：

• 密码学经典入门算法

• 数学与编程结合的典范

• 面试与课堂的高价值示例

• 现代分组密码的思想源头

项目常见问题及解答

Q1：为什么密钥矩阵必须可逆？

答：
否则无法解密，系统不可逆。

Q2：为什么模 26？

答：
因为英文字母共 26 个。

Q3：Hill 密码安全吗？

答：
不安全，但教学价值极高。

扩展方向与性能优化

一、功能扩展方向

1. 支持 3×3 / n×n 矩阵

2. 自动检查密钥合法性

3. 支持小写字母

4. 支持文件加解密

二、工程与算法扩展

1. 高斯消元求逆矩阵

2. 通用模逆矩阵模板

3. 与 AES 分组思想对比

4. 攻击示例（已知明文攻击）