18、量子测量、信息增益与量子信息理论的哲学思考

量子测量、信息增益与量子信息理论的哲学思考

1. 量子测量与信息增益

1.1 信息增益的衡量方式

在量子测量中，信息增益有多种衡量方式，这里主要关注通过优势关系（majorization relation）和熵不等式来表达的信息增益。

优势关系

优势关系的直观解释是，如果 (x \prec y)，则 (x) 比 (y) 更“混合”、“无序”或“不确定”。其定义如下：
设 (x = (x_1, x_2, \ldots, x_d)) 和 (y = (y_1, y_2, \ldots, y_d)) 是两个向量，将 (x) 的分量重新排列为非递增顺序，记为 (x^{\downarrow}= (x^{\downarrow}1, x^{\downarrow}_2, \ldots, x^{\downarrow}_d))，其中 (x^{\downarrow}_1 \geq x^{\downarrow}_2 \geq \ldots \geq x^{\downarrow}_d)。若对于 (k = 1, \ldots, d - 1)，有 (\sum{j=1}^{k} x^{\downarrow}j \leq \sum{j=1}^{k} y^{\downarrow}_j)，且当 (k = d) 时等式成立，则称 (x) 被 (y) 优势化，即 (x \prec y)。

对于量子态，若 (\rho) 和 (\sigma) 是厄米算符，当 (\rho) 的特征值向量 (\lambda(\rho)) 被 (\sigma) 的特征值向量 (\lambda(\sigma)) 优势化，即 (\lambda(