【LetMeFly】3651.带传送的最小路径成本：动态规划
力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-cost-path-with-teleportations/
给你一个m x n的二维整数数组grid和一个整数k。你从左上角的单元格(0, 0)出发，目标是到达右下角的单元格(m - 1, n - 1)。
有两种移动方式可用：
普通移动：你可以从当前单元格
(i, j)向右或向下移动，即移动到(i, j + 1)（右）或(i + 1, j)（下）。成本为目标单元格的值。传送：你可以从任意单元格
(i, j)传送到任意满足grid[x][y] <= grid[i][j]的单元格(x, y)；此移动的成本为 0。你最多可以传送k次。
返回从(0, 0)到达单元格(m - 1, n - 1)的最小总成本。
示例 1:
输入:grid = [[1,3,3],[2,5,4],[4,3,5]], k = 2
输出:7
解释:
我们最初在 (0, 0)，成本为 0。
| 当前位置 | 移动 | 新位置 | 总成本 |
|---|---|---|---|
(0, 0) | 向下移动 | (1, 0) | 0 + 2 = 2 |
(1, 0) | 向右移动 | (1, 1) | 2 + 5 = 7 |
(1, 1) | 传送到(2, 2) | (2, 2) | 7 + 0 = 7 |
到达右下角单元格的最小成本是 7。
示例 2:
输入:grid = [[1,2],[2,3],[3,4]], k = 1
输出:9
解释:
我们最初在 (0, 0)，成本为 0。
| 当前位置 | 移动 | 新位置 | 总成本 |
|---|---|---|---|
(0, 0) | 向下移动 | (1, 0) | 0 + 2 = 2 |
(1, 0) | 向右移动 | (1, 1) | 2 + 3 = 5 |
(1, 1) | 向下移动 | (2, 1) | 5 + 4 = 9 |
到达右下角单元格的最小成本是 9。
提示:
2 <= m, n <= 80m == grid.lengthn == grid[i].length0 <= grid[i][j] <= 1040 <= k <= 10
解题方法：动态规划
假设这道题不能跳跃，那么就变成了一个简答的二维DP：
voidnormalRightDownDP(vector<vector<int>>&grid,vector<vector<int>>&dp){// 可能要初始化dp[0][0]=0，其他为正无穷for(inti=0;i<grid.size();i++){for(intj=0;j<grid[0].size();j++){if(i>0){dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+grid[i][j]);}if(j>0){dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+grid[i][j]);}}}}加上了个跳跃：高处往低处(或等高处)跳跃不增加cost，也就是说假设高处有个位置的到达代价是a aa，那么全图任何不高于它的位置都能以代价a aa到达。
所以我们可以在动态规划函数上添加一维，d p [ k ] [ i ] [ j ] dp[k][i][j]dp[k][i][j]表示进行k kk次跳跃到达g r i d [ i ] [ j ] grid[i][j]grid[i][j]的最小代价。
所以，我们在最外层循环增加k kk次跳跃就好啦！对于第t i m e s timestimes次跳跃：
由高到低遍历grid
假设6个单元格高度分别是[ 2 , 2 , 1 , 1 , 1 , 0 ] [2, 2, 1, 1, 1, 0][2,2,1,1,1,0]，那么先遍历height为2 22的两个单元格，并更新height为2 22的单元格的最小cost为其中最小的那个；
接着遍历height为1 11的三个单元格，并更新h e i g h t heightheight为1 11的单元格的最小cost为这5 55个单元格中最小的那个。
具体做法：使用一个变量m i n i F r o m miniFromminiFrom记录当前所有高度的最小值，使用一个哈希表记录每一高度下都有哪些格子，由高到低一层一层地遍历，更新m i n i F r o m miniFromminiFrom后再遍历一遍这一层。
每层先由t i m e s − 1 times-1times−1的那个dp跳跃而来，然后再执行一遍正常的二维DP（normalRightDownDP）就好了。
由于可以零成本原地跳到原地，所以最终返回跳完所有k kk次的那个DP的右下角格子就好了。
- 时间复杂度O ( m n k ) O(mnk)O(mnk)
- 空间复杂度O ( m n k ) O(mnk)O(mnk)
AC代码
C++
/* * @LastEditTime: 2026-01-28 23:23:30 */classSolution{private:voidnormalRightDownDP(vector<vector<int>>&grid,vector<vector<int>>&dp){for(inti=0;i<grid.size();i++){for(intj=0;j<grid[0].size();j++){if(i>0){dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+grid[i][j]);}if(j>0){dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+grid[i][j]);}}}}public:intminCost(vector<vector<int>>&grid,intk){unordered_map<int,vector<pair<int,int>>>graph;for(inti=0;i<grid.size();i++){for(intj=0;j<grid[0].size();j++){graph[grid[i][j]].push_back({i,j});}}vector<int>heights;heights.reserve(graph.size());for(auto[height,_]:graph){heights.push_back(height);}sort(heights.begin(),heights.end(),greater<int>());vector<vector<vector<int>>>dp(k+1,vector<vector<int>>(grid.size(),vector<int>(grid[0].size(),10000000)));dp[0][0][0]=0;normalRightDownDP(grid,dp[0]);for(inttimes=1;times<=k;times++){intminiFrom=10000000;for(intheight:heights){for(auto[x,y]:graph[height]){miniFrom=min(miniFrom,dp[times-1][x][y]);}for(auto[x,y]:graph[height]){dp[times][x][y]=miniFrom;}}normalRightDownDP(grid,dp[times]);}returndp[k][grid.size()-1][grid[0].size()-1];}};同步发文于CSDN和我的个人博客，原创不易，转载经作者同意后请附上原文链接哦~
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