零知识证明系统：知识证明的深入解析与应用
1. 知识证明有效性的讨论
在知识证明的研究中，我们可以自由使用两种有效性的表述方式。定义 4.7.2 的表述在分析知识证明作为子协议的效果时通常更为方便，而定义 4.7.3 的表述在证明给定系统是知识证明时通常更为便利。即使关系 R 不是 NP 关系，命题 4.7.4 的变体也成立。
知识证明的概念，尤其是用于形式化它的知识提取器的概念，与模拟范式相关。在某些应用中，当知识验证者确信知识证明者知道知识 K 后采取行动 A，如果证明者确实知道 K，行动 A 不会对验证者造成伤害。按照模拟范式，如果验证者确信证明者知道 K 后采取行动 A，不会造成伤害，因为在某种意义上我们可以模拟证明者确实知道 K 的情况。利用知识提取器，我们可以模拟证明者在整个交互过程（即证明过程和验证者采取的后续行动）中的视角。若证明者失败，行动 A 不会被采取，整个交互很容易模拟；若证明者成功说服验证者，我们提取相关知识 K，使得行动 A 不会造成伤害。
关于可靠性，在之前的定义中，当知识验证者对不在语言 $L_R$ 中的公共输入进行验证时，我们未对其情况做出要求。自然的要求是，对于输入 $x \notin L_R$，验证者接受的概率至多为 $\kappa(|x|)$。在许多自然情况下这是成立的，但在命题 4.7.6 的结论中不成立。
两种有效性表述的一个关键特征是，它们以“统一”的方式处理 $p(x, y, r)$ 的所有可能值。这对于大多数将知识证明用作子协议（而非最终协议）的应用至关重要。通常，在这类应用中，要求知识误差函数可忽略（甚至为零）。在这种情况下，我们需要处理所有不可忽略的 $p(x, y, r)$ 值，但事先并不知道 $p(x,
