一、熵的概念与特征提取基础
1.1 信息熵的起源与定义
信息熵的概念最早由克劳德·香农于1948年在其开创性论文《通信的数学理论》中提出，用于解决信息量化问题。熵本质上是对系统不确定性或混乱程度的度量。在信息论中，熵表示信息的不确定性，即信息量的期望值。
信息熵的数学定义如下：对于离散随机变量X，其概率分布为P(X=xi) = pi，则信息熵H(X)定义为：
H(X) = -Σpi * log(pi)其中对数通常以2为底，单位是比特(bit)，也可以以e为底，单位是奈特(nats)。
从特征提取的角度看，信息熵提供了一个重要洞察：熵值越大，系统的不确定性越高，包含的信息量越少；反之，熵值越小，系统的确定性越强，可能包含更多有意义的信息。这一原理成为各种熵特征提取算法的基础。
1.2 熵特征提取的基本思想
在信号处理领域，熵特征提取的基本思想是：通过计算信号在不同变换域或特征空间的熵值，来量化信号的复杂性、随机性或规律性。不同类型的熵从不同角度揭示信号特性，从而适用于各种应用场景。
传统的时域特征（如均值、方差）和频域特征（如频谱重心）虽然有用，但难以捕捉信号的复杂动态特性。而熵特征能够有效表征信号的非线性动态特性，在机械设备故障诊断、生物医学信号分析、金融时间序列预测等领域展现出独特优势。
表1：熵特征与传统特征的比较
| 特征类型 | 描述重点 | 计算复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 时域特征 | 信号幅值统计特性 | 低 | 简单振动分析、基本信号分析 |
| 频域特征 | 信号频率分布特性 | 中 | 周期性分析、频谱分析 |
| 熵特征 | 信号复杂度和不确定性 | 高 | 非线性系统、复杂动态分析 |
二、单变量熵特征算法
2.1 近似熵（Approximate Entropy, ApEn）
近似熵是由Pincus于1991年提出，用于度量时间序列的复杂性和规律性。其核心思想是：通过比较信号中模式重复出现的概率来评估序列的复杂性。
2.1.1 算法原理
近似熵的计算步骤如下：
- 序列重构：给定长度为N的时间序列{u(i), i=1,2,…,N}，重构m维向量：X(i) = [u(i), u(i+1), …, u(i+m-1)]，其中m为嵌入维数。
- 距离计算：计算向量X(i)与X(j)之间的距离d[X(i), X(j)]，通常使用切比雪夫距离。
- 相似度判断：对于每个i，统计d[X(i), X(j)] ≤ r的个数，并计算其与总数N-m+1的比值，记为Cᵢᵐ®。
- 概率计算：取所有Cᵢᵐ( r )的对数，并求平均值：φᵐ ( r ) = (N-m+1)⁻¹ × Σln[Cᵢᵐ( r )]。
- 近似熵计算：ApEn(m, r, N) = φᵐ( r ) - φᵐ⁺¹( r )。
2.1.2 参数选择与MATLAB实现
近似熵计算中，嵌入维数m通常取1或2，阈值r一般取0.1-0.25倍信号标准差。MATLAB实现代码如下：
functionApEn=approximateEntropy(data,m,r)% 近似熵计算函数% 输入：data - 输入信号，m - 嵌入维数，r - 阈值% 输出：ApEn - 近似熵值N=length(data);phi_m=0;phi_m1=0;% 计算m维情况下的φ值fori=1:N-m+1pattern_m=data(i:i+m-1);count=0;forj=1:N-m+1pattern_j=data(j:j+m-1);ifmax(abs(pattern_m-pattern_j))<=r count=count+1;endendC_i=count/(N-m+1);phi_m=phi_m+log(C_i);endphi_m=phi_m/(N-m+1);% 计算m+1维情况下的φ值fori=1:N-m pattern_m1=data(i:i+m);count=0;forj=1:N-m pattern_j=data(j:j+m);ifmax(abs(pattern_m1-pattern_j))<=r count=count+1;endendC_i=count/(N-m);phi_m1=phi_m1+log(C_i);endphi_m1=phi_m1/(N-m);ApEn=phi_m-phi_m1;end2.1.3 优缺点与应用场景
近似熵的主要优点是算法相对简单，对数据量要求不高。但也存在明显缺点：结果缺乏一致性，对参数选择敏感，且容易产生偏差。
近似熵广泛应用于生物医学信号处理，如心电图(ECG)分析、脑电图(EEG)复杂度评估，以及机械设备振动信号监测。
2.2 样本熵（Sample Entropy）
样本熵是Richman和Moorman于2000年对近似熵的改进算法，解决了近似熵的两个主要问题：偏差性和不一致性。
2.2.1 算法原理与改进
样本熵的改进主要体现在：
- 排除自匹配：在计算相似模式时，排除向量与自身的比较，消除偏差。
- 一致性计算：在m维和m+1维空间中使用相同的阈值条件，确保结果一致性。
样本熵计算公式为：
SampleEn(m, r, N) = -ln[Aᵐ(r)/Bᵐ(r)]其中Bᵐ®是m维空间中的模板匹配数，Aᵐ®是m+1维空间中的模板匹配数。
2.2.2 MATLAB实现代码
functionSampEn=sampleEntropy(data,m,r)% 样本熵计算函数% 输入：data - 输入信号，m - 嵌入维数，r - 阈值% 输出：SampEn - 样本熵值N=length(data);% 数据标准化（可选，使r与标准差相关）% data = (data - mean(data)) / std(data);B=0;A=0;% 计算m维情况下的匹配数fori=1:N-m pattern_i=data(i:i+m-1);forj=1:N-mifi==jcontinue;% 排除自匹配endpattern_j=data(j:j+m-1);ifmax(abs(pattern_i-pattern_j))<=r B=B+1;endendend% 计算m+1维情况下的匹配数fori=1:N-m-1pattern_i=data(i:i+m)
