傅里叶变换小波变换

在信号分析领域，我们经常面对这样的问题：

信号中有哪些频率成分？这些频率在什么时候出现？是否发生了突变？

围绕这个问题，形成了三种非常经典、也是工程中最常用的分析工具：

• 傅里叶变换（Fourier Transform, FT）
• 短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）
• 小波变换（Wavelet Transform, WT）

一、傅里叶变换（FT）

1. 核心思想

傅里叶变换回答的问题是：

一个信号，可以分解成哪些频率的正弦波？

数学形式为：
X(f)=∫−∞∞x(t),e−j2πft,dt X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t), e^{-j2\pi f t}, dtX(f)=∫−∞∞​x(t),e−j2πft,dt

2. 使用的基函数

• 无限长的正弦 / 余弦波
• 或复指数形式：ej2πft e^{j2\pi f t}ej2πft
  👉 特点：
• 在整个时间轴上全局存在
• 不具备时间局部性
  

3. 能看到什么？

• 频谱（Frequency Spectrum）
• 每个频率的“总能量”
  但你永远不知道这些频率是在什么时候出现的。

4. Python Demo：频谱图

importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltfromscipy.fftimportfft,fftfreq fs=1000t=np.arange(0,2,1/fs)signal=np.sin(2*np.pi*5*t)+np.sin(2*np.pi*50*t)*(t>1)N=len(signal)yf=fft(signal)xf=fftfreq(N,1/fs)plt.figure(figsize=(10,4))plt.plot(xf[:N//2],np.abs(yf[:N//2]))plt.title("傅里叶频谱")plt.xlabel("频率 (Hz)")plt.ylabel("幅值")plt.grid()plt.show()

5. 优缺点

优点

• 数学完备、计算高效
• 适合平稳信号

缺点

• 完全丢失时间信息
• 对突变、瞬态信号无能为力

二、短时傅里叶变换（STFT）

1. 为什么需要 STFT？

傅里叶的问题在于：
时间信息被整体“积分”掉了
解决办法很直观：

把信号分成一小段一小段，每一段分别做傅里叶变换。

2. 数学形式

STFT(t,f)=∫x(τ),w(τ−t),e−j2πfτdτ STFT(t,f) = \int x(\tau), w(\tau - t), e^{-j2\pi f \tau} d\tauSTFT(t,f)=∫x(τ),w(τ−t),e−j2πfτdτ
其中：

• w(⋅)w(\cdot)w(⋅)是固定长度窗口函数

3. 使用的基函数

• 加窗正弦波w(t−τ)⋅ej2πft w(t-\tau) \cdot e^{j2\pi f t}w(t−τ)⋅ej2πft
  👉 本质：

“有限时间长度的傅里叶基函数”

4. 能看到什么？

• 时频图（Spectrogram）
• 频率随时间变化

5. Python Demo：STFT 时频图

fromscipy.signalimportstft f,tt,Zxx=stft(signal,fs=fs,nperseg=128)plt.figure(figsize=(10,4))plt.pcolormesh(tt,f,np.abs(Zxx),shading='gouraud')plt.title("STFT 时频图")plt.xlabel("时间 (秒)")plt.ylabel("频率 (Hz)")plt.colorbar(label="幅值")plt.ylim(0,150)plt.show()

6. 关键问题：固定分辨率

STFT 有一个不可避免的物理极限：

窗口一旦固定，时间分辨率和频率分辨率无法同时提高

• 窗口短 → 时间准，频率模糊
• 窗口长 → 频率准，时间模糊

7. 优缺点

优点

• 能看时间变化
• 工程实现简单

缺点

• 固定分辨率
• 对低频慢变 / 高频突变同时存在的信号表现一般

三、小波变换（Wavelet Transform）

1. 小波的根本思想

小波解决的问题是 STFT 的“致命缺陷”：

不同频率，应该用不同时间尺度来观察

2. 数学形式（连续小波）

W(a,b)=∫x(t),1∣a∣,ψ!(t−ba),dt W(a,b) = \int x(t), \frac{1}{\sqrt{|a|}}, \psi!\left(\frac{t-b}{a}\right), dtW(a,b)=∫x(t),∣a∣​1​,ψ!(at−b​),dt

• aaa：尺度（scale≈频率）
• bbb：时间平移
• ψ(t)\psi(t)ψ(t)：母小波

3. 使用的基函数

• 可伸缩、可平移的小波函数ψa,b(t)=1∣a∣ψ!(t−ba) \psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi!\left(\frac{t-b}{a}\right)ψa,b​(t)=∣a∣​1​ψ!(at−b​)
  👉 特点：
• 高频 → 短窗口（时间分辨率高）
• 低频 → 长窗口（频率分辨率高）
  

4. 常见小波函数

• Haar
• Daubechies（db4、db8）
• Symlet
• Coiflet
• Morlet（连续小波）

5. Python Demo：连续小波时频图

importpywt scales=np.arange(1,128)coeffs,freqs=pywt.cwt(signal,scales,'morl',sampling_period=1/fs)plt.figure(figsize=(10,4))plt.imshow(np.abs(coeffs),extent=[0,2,freqs[-1],freqs[0]],aspect='auto',cmap='jet')plt.title("小波时频图")plt.xlabel("时间 (秒)")plt.ylabel("频率 (Hz)")plt.colorbar(label="幅值")plt.show()

6. 优缺点

优点

• 多分辨率分析
• 非平稳、突变信号表现极佳
• 边缘、瞬态不被抹平

缺点

• 小波基选择有经验性
• 理论和实现复杂度高于 STFT

四、三种方法的系统对比

4.1 本质差异不是“变换形式”，而是“分辨率分配策略”

这背后实际上对应三种“信息分配哲学”：

• FT：假设信号是“统计稳定的”
• STFT：假设信号“局部近似平稳”
• WT：承认信号本质是多尺度非平稳的

4.2 时间–频率不确定性原理的体现方式不同

所有时频分析方法都受限于：
Δt⋅Δf≥C \Delta t \cdot \Delta f \ge CΔt⋅Δf≥C

区别在于谁来承担这个代价：

👉关键结论：
小波不是“突破不确定性原理”，而是更聪明地分配分辨率预算。

4.3 对非平稳性的适应能力

这也是为什么在振动分析、故障诊断、生物信号领域，小波逐渐成为“标配工具”。

五、典型工程应用场景

这一部分不再按“方法”划分，而是按工程问题类型划分，更贴近真实使用场景。

5.1 降噪问题

5.1.1 傅里叶滤波的适用条件

• 噪声频段与信号频段明显分离
• 噪声统计特性稳定（如白噪声）

问题：

• 突变、边缘会被“磨平”
• 非平稳噪声效果很差

5.1.2 小波阈值去噪

小波去噪利用两个事实：

1. 信号在小波域是稀疏的
2. 噪声在各尺度是分散的
   典型流程：

信号 → 小波分解 → 高频系数阈值 → 重构

工程优势：

• 保留突变
• 保留相位结构
• 去噪不引入明显延迟

📌 常见应用：

• ECG / EEG
• 传感器噪声
• 工业振动信号

5.2 振动与故障检测

这是 FT/STFT/WT分化最明显的场景。

5.2.1 傅里叶能做什么？

• 整体频谱能量分布
• 共振频率、主频

👉 适合：

• 稳态旋转机械
• 长时间统计分析

5.2.2 STFT 的价值

• 频率漂移
• 工况切换过程

👉 典型应用：

• 启停过程
• 转速变化过程

5.2.3 小波的“杀手级能力”

• 冲击
• 轴承剥落
• 齿轮断齿
• 裂纹早期征兆

因为这些信号：

• 短时
• 高频
• 能量低

恰好是 STFT 最不擅长、但小波最擅长的类型。

5.3 非平稳复杂信号

六、总结

6.1 快速选型口诀

频率固定看 FT
变化不快用 STFT
变化复杂上小波

6.2 实战推荐组合

组合 1：工业振动

STFT 定位异常时间段 → 小波精细分析 → 特征提取 + ML

组合 2：信号预处理

小波去噪 → 傅里叶特征 → 模型训练

组合 3：在线监测

STFT 实时监控 → 小波离线复核

6.3 为什么工程上不会“只用一种方法”

原因很现实：

• FT：快、稳定、可解释
• STFT：折中、易部署
• 小波：强、但复杂

真正成熟的系统，几乎都是多方法协同。