题目概览
一个机器人位于一个m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2输出：3解释：从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 10^9
来源：62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）
解题分析
方法一：动态规划
当前位置只能从上面或左边走过来，因此可以得到状态转移方程：
dp[ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ] + dp [ i ] [ j - 1 ]
第一行和第一列只有一条路径，所以初始化为 1。
时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(mn)
class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) { int[][] dp = new int[m][n]; for (int i = 0; i < m; ++i) { dp[i][0] = 1; } for (int j = 0; j < n; ++j) { dp[0][j] = 1; } for (int i = 1; i < m; ++i) { for (int j = 1; j < n; ++j) { dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; } } return dp[m-1][n-1]; } }方法二：动态规划优化
由于我们只关注上一行和上一列的路径数，因此我们可以将二维dp优化为一维，只存储上一行的路径数，每次遍历将当前列位置数更新为新一行的数据，获取前一列的数据就为 dp[ j - 1]
时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(n)
class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) { int[] dp = new int[n]; for (int j = 0; j < n; ++j) { dp[j] = 1; } for (int i = 1; i < m; ++i) { for (int j = 1; j < n; ++j) { dp[j] += dp[j-1]; } } return dp[n-1]; } }
