概率论与数理统计-参数估计

1. 教材pdf截图

参数估计分为:点估计和区间估计

2. llm总结(人工校验过)

估计值,估计量的概念, 有偏,无偏的概念

1. 估计值（Estimate）：你抽了一次样本，代入公式算出来的具体数字。比如你测了5个人的身高，算出平均身高是 175.2 cm。这个 175.2 就是估计值，它是一个固定的常数，常数没有“期望”一说。
2. 估计量（Estimator）：用来计算估计值的公式/规则。比如x ˉ = 1 n ∑ x i \bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_ixˉ=n1​∑xi​。因为每次抽样得到的样本不同，算出来的结果也不同，所以估计量本质上是一个随机变量。

有偏和无偏的严格定义是针对估计量（随机变量）而言的

假设我们要估计的总体真实参数是θ \thetaθ（比如真实的总体均值μ \muμ），我们构造的估计量是θ ^ \hat{\theta}θ^（比如样本均值x ˉ \bar{x}xˉ）。

• 无偏（Unbiased）：估计量的数学期望等于总体参数的真实值。
  E [ θ ^ ] = θ E[\hat{\theta}] = \thetaE[θ^]=θ
• 有偏（Biased）：估计量的数学期望不等于总体参数的真实值。
  E [ θ ^ ] ≠ θ E[\hat{\theta}] \neq \thetaE[θ^]=θ

统计学中，我们直接把“期望与真实值的差”定义为偏差（Bias）：

Bias ( θ ^ ) = E [ θ ^ ] − θ \text{Bias}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \thetaBias(θ^)=E[θ^]−θ

• 如果Bias ( θ ^ ) = 0 \text{Bias}(\hat{\theta}) = 0Bias(θ^)=0，就是无偏。
• 如果Bias ( θ ^ ) ≠ 0 \text{Bias}(\hat{\theta}) \neq 0Bias(θ^)=0，就是有偏。
  • 如果Bias > 0 \text{Bias} > 0Bias>0，说明估计量系统性地偏高（高估）。
  • 如果Bias < 0 \text{Bias} < 0Bias<0，说明估计量系统性地偏低（低估）。