目录
一、 引言：为什么我们需要“回去”？
二、 核心理论：逆矩阵的几何意义
1. 数学推导
2. 几何解释
三、 实战应用：为什么这很重要？
场景：点击一个歪歪扭扭的盒子
四、 代码实现（基于 Three.js）
1. 使用封装好的 API
2. 手动实现（还原数学原理）
五、更通俗易懂的例子
核心逻辑
代码实现
在 3D 开发（如 Three.js、WebGL）中，我们经常使用模型矩阵将物体从局部坐标系转换到世界坐标系。但你是否思考过，如何反向操作？现在从数学原理与几何意义出发，探讨“模型矩阵的逆矩阵”在坐标转换中的核心作用，并结合射线拾取（Raycasting）等实际场景，
一、 引言：为什么我们需要“回去”？
我们最熟悉的流程通常是这样的：
在建模软件里建好一个模型（局部坐标，Local Space）。
把它加载到场景中，设置
position、rotation、scale。渲染引擎通过模型矩阵自动帮我们把顶点的局部坐标转换成了世界坐标，最终显示在屏幕上。
公式很简单：
但是，在很多高阶交互场景下（比如鼠标点击检测、父子层级变换），我们需要反着来——已知一个世界坐标中的点，想知道它相对于某个物体中心的坐标是多少。
这就涉及到了线性代数中一个极其优美的概念：逆矩阵（Inverse Matrix）。
二、 核心理论：逆矩阵的几何意义
如果说模型矩阵M 是一张“单程票”，把点从家（局部）带到了世界广场；那么M的逆矩阵就是一张“返程票”，把点从世界广场送回家。
1. 数学推导
根据线性代数的基本性质：
2. 几何解释
模型矩阵 (M)：记录了物体是如何平移、旋转、缩放的。
逆矩阵 (M的逆)：记录了如何撤销这些平移、旋转、缩放。
一句话总结：模型矩阵是将局部坐标系转换到世界坐标系；模型矩阵的逆，就是将世界坐标系转换回局部坐标系。
三、 实战应用：为什么这很重要？
在实际工程中，它解决了一个巨大的痛点：碰撞检测与交互（Raycasting）。
场景：点击一个歪歪扭扭的盒子
假设场景里有一个被旋转了 45 度、又被缩放过的盒子（Box）。你需要判断鼠标点击出的射线（Ray）是否击中了这个盒子。
困难的做法（在世界坐标系算）：
你需要计算射线与一个“倾斜的立方体”的交点。这涉及复杂的立体几何运算，计算量大且容易出错。
聪明的做法（在局部坐标系算）：
利用逆矩阵！
获取盒子的模型矩阵，求逆，得到 M的逆
用 M的逆 把鼠标发出的射线（World Ray）变换一下，变回盒子的局部空间。
奇迹发生了：在局部空间里，盒子永远是正正方方的（Axis-aligned），中心通常在原点。
我们只需要判断“一条歪射线”和“一个正盒子”是否相交。这仅仅是简单的
if (x > minX && x < maxX)的运算，速度快了几个数量级！
Three.js 的Raycaster底层正是利用了这个逻辑，才实现了高效的拾取。
四、 代码实现（基于 Three.js）
在 Three.js 中，虽然封装好的worldToLocal方法屏蔽了细节，但理解底层原理不是更香吗？
1. 使用封装好的 API
const mesh = new THREE.Mesh(geometry, material); scene.add(mesh); // 假设有一个世界坐标点 const worldPoint = new THREE.Vector3(10, 5, 0); // 直接转换回 mesh 的局部坐标 mesh.worldToLocal(worldPoint); console.log(worldPoint); // 输出该点相对于 mesh 中心的位置2. 手动实现（还原数学原理）
const worldPoint = new THREE.Vector3(10, 5, 0); // 1. 获取物体的世界变换矩阵 const matrixWorld = mesh.matrixWorld; // 2. 计算逆矩阵 const inverseMatrix = new THREE.Matrix4(); inverseMatrix.copy(matrixWorld).invert(); // 求逆 // 3. 应用逆矩阵： P_local = M_inv * P_world const localPoint = worldPoint.clone().applyMatrix4(inverseMatrix); console.log(localPoint);五、更通俗易懂的例子
判定一个点是否在一个box内呢，知道box的模型矩阵及点的世界坐标，
核心逻辑
困难模式（世界坐标系）：你的 Box 是歪的（被旋转过），点也是任意的。你需要判断点是否在六个倾斜面的“中间”，这需要算点到平面的距离，非常麻烦。
简单模式（局部坐标系）：
利用模型矩阵的逆把世界坐标的点变换回 Box 的局部坐标
在局部坐标系里，Box 永远是正正方方的（通常中心在原点，或者是已知的 min/max 范围）。
你只需要做最简单的大小比较（AABB 检测）。
代码实现
// 假设 boxMesh 是你的物体，pointWorld 是世界坐标中的点(Vector3) function isPointInBox(pointWorld, boxMesh) { // 1. 获取逆矩阵 (World -> Local) // 注意：在 Three.js 中，为了性能，最好把 inverseMatrix 缓存起来，不要每帧 new const inverseMatrix = boxMesh.matrixWorld.clone().invert(); // 2. 将世界坐标点转换到局部坐标系 const pointLocal = pointWorld.clone().applyMatrix4(inverseMatrix); // 3. 获取 Box 的局部几何边界 (AABB) // 如果是标准几何体，通常 geometry.boundingBox 就可以拿到 min 和 max // 如果没有计算过，需要先 boxMesh.geometry.computeBoundingBox(); const min = boxMesh.geometry.boundingBox.min; const max = boxMesh.geometry.boundingBox.max; // 4. 简单的 AABB 判定 if (pointLocal.x >= min.x && pointLocal.x <= max.x && pointLocal.y >= min.y && pointLocal.y <= max.y && pointLocal.z >= min.z && pointLocal.z <= max.z) { return true; // 在里面！ } return false; // 在外面 }
