第 3 章 FOC 前置数学基石：Clark 变换

前言

在上一章，我们已经完整实现了六步方波换相，电机可以稳定转起来了。但同时也能明显感受到：

• 低速抖动、力矩脉动大
• 高速噪音明显
• 电流波形是方波，谐波大、效率低

想要解决这些问题，就必须进入FOC 磁场定向控制。而 FOC 最核心、最基础、最绕不开的第一步，就是坐标变换。

FOC 本质上就做一件事：把复杂的三相交流电机，通过数学变换，变成简单的直流电机来控制。

整个变换链路是：三相电流两相静止电流两相旋转电流

本章我们只专注讲第一个变换：Clark 变换（Clarke Transform）

1. 为什么要做 Clark 变换？

1.1 原始问题：三相系统不好控制

电机三相绕组 U、V、W 在空间上互差 120°，电流满足：Iu​+Iv​+Iw​=0这是一个三维耦合系统，三个变量不独立，直接控制非常困难：

• 无法单独控制 “力矩”
• 无法单独控制 “磁场”
• 调节器设计复杂，无直观物理意义

1.2 目标：降维 + 解耦

Clark 变换的作用只有一句话：

把三相静止坐标系（abc），等效变换为两相静止坐标系（αβ）用两个正交分量，完整表达原来三个量的全部信息

好处：

1. 三维 → 二维，计算量大幅下降
2. α、β 轴正交，互不干扰
3. 为下一步 Park 变换做准备，最终实现 d/q 解耦控制

简单理解：Clark 变换就是 “三相交流电的正交降维投影”。

2. 三相电流约束关系

三相无刷电机为星形接法（Y 型），中线不引出，所以：

Iu​+Iv​+Iw​=0

这意味着三个电流不是独立变量，只需要两个电流就能完全确定第三个。这也是 Clark 变换能够成立的数学前提。

实际工程中：

• 三电阻采样：直接采 Iu、Iv、Iw
• 双电阻采样：采 Iu、Iv，Iw = -Iu-Iv
• 单电阻采样：通过 PWM 时序重构三相电流

3. Clark 变换标准公式推导

3.1 坐标定义

• a 轴 ≡ U 相
• b 轴滞后 a 轴 120°
• c 轴滞后 b 轴 120°

α 轴与 a（U）轴重合，β 轴超前 α 轴 90°。

3.2 等幅变换

3.3 为什么系数是 2/3？

为了保证：变换前后电流幅值不变即 “等幅值变换”，这样电流环 PID 参数更直观，和实际物理量一致。

如果用 1/√3 系数，是等功率变换，一般用于电力分析，电机控制极少用。

4. 简化形式（利用 Iu+Iv+Iw=0）

因为Iw​=−Iu​−Iv​代入可以把公式进一步简化，只需要 Iu、Iv 两个量。

代入后：Iα​=Iu​

工程上非常常用，因为很多硬件只采两相电流。

5. 反 Clark 变换（αβ → abc）

在 FOC 最后一步，需要把控制电压从 αβ 变回三相，所以反变换也必须掌握。

6. Clark 变换代码实（STM32 浮点版）

6.1 完整三相输入版本（标准形式）

#include "math.h" /** * @brief Clark 变换 (三相电流 → αβ 坐标系) * @param Iu, Iv, Iw: 采样得到的三相电流 * @param Ialpha, Ibeta: 输出两相静止电流 */ void Clark_Transform(float Iu, float Iv, float Iw, float *Ialpha, float *Ibeta) { // 等幅值 Clark 变换 *Ialpha = (2.0f / 3.0f) * (Iu - 0.5f*Iv - 0.5f*Iw); *Ibeta = (2.0f / 3.0f) * ((sqrtf(3)/2.0f)*Iv - (sqrtf(3)/2.0f)*Iw); }

6.2 简化版（只采两相电流）

实际项目 90% 都是双电阻 / 单电阻采样，只给 Iu、Iv：

void Clark_Transform_Simplify(float Iu, float Iv, float *Ialpha, float *Ibeta) { // 由 Iw = -Iu - Iv 推导 *Ialpha = Iu; *Ibeta = (Iu + 2.0f * Iv) / sqrtf(3.0f); }

6.3 反 Clark 变换代码

void Inv_Clark(float Valpha, float Vbeta, float *Vu, float *Vv, float *Vw) { *Vu = Valpha; *Vv = -0.5f * Valpha + (sqrtf(3)/2.0f) * Vbeta; *Vw = -0.5f * Valpha - (sqrtf(3)/2.0f) * Vbeta; }

7. 定点优化版本（适合无 FPU 单片机）

如果你的芯片是 STM32F103 之类，浮点运算慢，可以用定点 Q 格式，提前把系数存为常数：

// 系数放大 2^15 定点化 #define SQRT3_2 28377 // sqrt(3)/2 * 32768 #define _2_SQRT3 37837 // 2/sqrt(3) * 32768 #define _1_2 16384 // 1/2 * 32768 void Clark_Fixed(int16_t Iu, int16_t Iv, int16_t Iw, int16_t *Ialpha, int16_t *Ibeta) { *Ialpha = (2*(Iu - ((Iv*_1_2)>>15) - ((Iw*_1_2)>>15))) / 3; *Ibeta = ((Iv*SQRT3_2)>>15) - ((Iw*SQRT3_2)>>15); }

实际工程一般都用浮点版，代码清晰、调试方便，F1 以上都跑得动。

8. 物理意义直观理解（非常重要）

很多人会背公式，但不知道 α、β 到底代表什么：

• Iα：与 U 相同向的磁场分量
• Iβ：垂直于 U 相的磁场分量

两者合成一个在空间静止不动、但大小随时间正弦变化的磁场矢量。

而 FOC 要做的，就是把这个静止的矢量，通过 Park 变换，变成随转子一起旋转的矢量，从而得到：

• Id：励磁电流（磁场强弱）
• Iq：转矩电流（力气大小）

9. 常见工程陷阱（避坑指南）

9.1 电流采样相位反了

如果采样运放是反向输出，Iu、Iv、Iw 会出现负号，直接导致：

• FOC 失控
• 电机抖动、啸叫

解决：在 Clark 前加一句：

Iu = -Iu; Iv = -Iv;

9.2 忘记电流偏置

ADC 采样一般是单极性，会叠加 1.65V/2.5V 偏置，必须先减去直流偏置，再进入 Clark。

Iu = ADC_GetValue(ADC_U) - CURRENT_OFFSET; Iv = ADC_GetValue(ADC_V) - CURRENT_OFFSET;

9.3 坐标系定义不统一

• 有的电机 α 轴对齐 U 相
• 有的对齐 V 相
• 有的电角度定义相反

表现：

• 电机能转，但力矩小
• 高速抖动
• 电流环不稳定

解决：整套 FOC 从 Clark → Park → SVPWM 必须使用同一套坐标系，不能混用。

9.4 sqrtf 与 sinf 精度问题

尽量用sqrtf()、sinf()单精度浮点，不要用 double，速度差几倍。

10. 本章总结

Clark 变换是 FOC 的第一道数学大门，核心要点就 4 条：

1. 作用：三相 abc → 两相 αβ，降维、解耦
2. 公式：记住等幅值变换 2/3 系数
3. 简化版：只采两相电流，Iα=Iu，Iβ=(Iu+2Iv)/√3
4. 代码：浮点清晰易调试，定点适合低配 MCU

学完 Clark，你已经完成了 FOC 三分之一的工作。但 αβ 仍然是静止坐标系，还做不到像直流电机一样简单控制。