用Qutip绘制布洛赫球

布洛赫球的物理意义

布洛赫球（Bloch sphere）是量子计算中用来直观表示单量子比特（qubit）状态的几何模型。

再量子计算中，qubit的任意纯态可表示为两个基态的线性叠加

∣ ψ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩

其中α , β \alpha,\betaα,β均为复数，且满足归一化条件

$$
\alpha^2+\beta2=1\to\begin{aligned}
\alpha=\cos\frac{\theta}{2}e^{i\gamma_\alpha}\
\beta=\sin\frac{\theta}{2}e^{i\gamma_\beta}\

\end{aligned}
$$

由于量子态∣ ψ ⟩ |\psi\rangle∣ψ⟩和e i γ ∣ ψ ⟩ e^{i\gamma}|\psi\rangleeiγ∣ψ⟩代表同一物理态，所以用相位差来表示α , β \alpha,\betaα,β，从而量子态可表示为

∣ ψ ⟩ = cos ⁡ θ 2 ∣ 0 ⟩ + e i ϕ sin ⁡ θ 2 ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle=\cos\frac{\theta}{2}|0\rangle+e^{i\phi}\sin\frac\theta 2|1\rangle∣ψ⟩=cos2θ​∣0⟩+eiϕsin2θ​∣1⟩

式中θ \thetaθ为极角，ϕ \phiϕ为方位角，二者刚好能构成一个三维的单位球，如下图所示。

在Bloch球中，球面上的每一个点都代表量子比特的一个纯态，其中

• 北极代表∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩
• 南极代表∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩
• 赤道上θ = π 2 \theta=\frac{\pi}{2}θ=2π​，代表∣ 0 ⟩ |0\rangle∣0⟩和∣ 1 ⟩ |1\rangle∣1⟩的等概率叠加，具体来说
  • ϕ = 0 \phi=0ϕ=0代表∣ + ⟩ = ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ 2 |+\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2}∣+⟩=2​∣0⟩+∣1⟩​
  • ϕ = π \phi=\piϕ=π代表∣ − ⟩ = ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ 2 |-\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2}∣−⟩=2​∣0⟩−∣1⟩​
  • ϕ = π 2 \phi=\frac{\pi}{}2ϕ=π​2代表∣ + i ⟩ = ∣ 0 ⟩ + i ∣ 1 ⟩ 2 |+i\rangle=\frac{|0\rangle+i|1\rangle}{\sqrt2}∣+i⟩=2​∣0⟩+i∣1⟩​
  • ϕ = 3 π 2 \phi=\frac{3\pi}{2}ϕ=23π​代表∣ − i ⟩ = ∣ 0 ⟩ − i ∣ 1 ⟩ 2 |-i\rangle=\frac{|0\rangle-i|1\rangle}{\sqrt2}∣−i⟩=2​∣0⟩−i∣1⟩​

Qutip绘图

Qutip中提供了便捷的Bloch球绘图函数，想要得到上面的Bloch球，代码如下

importqutip b=qutip.Bloch()b.render()importmatplotlib.pyplotasplt plt.show()

【Bloch】即Bloch球的类，【render】用于渲染绘图。

布洛赫球上可以用向量或点表示不同的量子态，示例如下

代码为

b=qutip.Bloch()x=(qutip.basis(2,0)+(1+0j)*qutip.basis(2,1)).unit()y=(qutip.basis(2,0)+(0+1j)*qutip.basis(2,1)).unit()z=(qutip.basis(2,0)+(0+0j)*qutip.basis(2,1)).unit()b.add_states([x,y,z])th=np.linspace(0,2*np.pi,20)xp,yp,zp=np.cos(th),np.sin(th),np.zeros(20)b.add_points([xp,yp,zp])b.render()