有界性定理证明

题目

若函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，那么函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上有界。

证明：

用反证法，不妨设f(x)f(x)f(x)在在闭区间[a,b][a,b][a,b]上无上界，那么一定可以在闭区间[a,b][a,b][a,b]上取到一组数列{xn}\{x_n\}{xn​}，使得
f(x1)>1f(x2)>2f(x3)>3⋮f(xn)>n⋮ f(x_1)>1\\ f(x_2)>2\\ f(x_3)>3\\ \vdots\\ f(x_n)>n\\ \vdots\\f(x1​)>1f(x2​)>2f(x3​)>3⋮f(xn​)>n⋮
因为数列{xn}⊂[a,b]\{x_n\}\subset[a,b]{xn​}⊂[a,b]，所以数列{xn}\{x_n\}{xn​}是有界数列，根据致密性定理，数列{xn}\{x_n\}{xn​}有收敛子数列{xnk}\{x_{n_k}\}{xnk​​}，设其极限为x0x_0x0​，即
lim⁡k→+∞xnk=x0 \lim_{k\to+\infty}x_{n_k}=x_0\\k→+∞lim​xnk​​=x0​
因为a≤xnk≤ba\leq x_{n_k}\leq ba≤xnk​​≤b，由极限的保不等式性知，a≤x0≤ba\leq x_0\leq ba≤x0​≤b，所以函数fff在点x0x_0x0​处连续，即
lim⁡x→x0f(x)=f(x0) \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\\x→x0​lim​f(x)=f(x0​)
由海涅定理知，
lim⁡k→+∞f(xnk)=lim⁡x→x0f(x)=f(x0)(1) \lim_{k\to+\infty}f(x_{n_k})=\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\tag{1}k→+∞lim​f(xnk​​)=x→x0​lim​f(x)=f(x0​)(1)
又因为f(xnk)>nkf(x_{n_k})>n_kf(xnk​​)>nk​，而lim⁡k→+∞nk=+∞\lim\limits_{k\to+\infty}n_k=+\inftyk→+∞lim​nk​=+∞，故
lim⁡k→+∞f(xnk)=+∞(2) \lim_{k\to+\infty}f(x_{n_k})=+\infty\tag{2}k→+∞lim​f(xnk​​)=+∞(2)
(1)和(2)矛盾，故假设不成立，用同样的方法可以证明f(x)f(x)f(x)在在闭区间[a,b][a,b][a,b]上无下界。
得证。