【 C++ 】AVL树

目录

1、底层结构

2、AVL树的概念

3、AVL树节点的定义

4、基本框架

5、AVL树的插入

6、AVL树的旋转

左单旋

右单旋

左右双旋

右左双旋

7、AVL树的验证

8、AVL树的查找

9、AVL树的删除（了解）

10、AVL树的性能

1、底层结构

前面对map、multimap、set、multiset进行了简单的介绍，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

2、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 任何一颗左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

• 0代表左右高度相等
• 1代表右子树高1
• -1代表左子树高1

下面给出一幅图来判断是否为AVL树：

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的（相对平衡），它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)。

3、AVL树节点的定义

这里我们实现的AVL树为KV模型，自然节点的模板参数有两个，并且节点定义为三叉连结构（左孩子，右孩子，父亲），在二叉链表的基础上加了一个指向父结点的指针域，使得即便于查找孩子结点，又便于查找父结点。接着还需要创建一个变量_bf作为平衡因子（右子树 - 左子树的高度差）。最后写一个构造函数初始化变量即可。

//节点类 template<class K, class V> struct AVLTreeNode { //存储的键值对 pair<K, V> _kv; //三叉连结构 AVLTreeNode<K, V>* _left;//左孩子 AVLTreeNode<K, V>* _right;//右孩子 AVLTreeNode<K, V>* _parent;//父亲 //平衡因子_bf int _bf;//右子树 - 左子树的高度差 //构造函数 AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv) , _left(nullptr) , _right(nullptr) , _bf(0) {} };

4、基本框架

此部分内容为AVL树的类，主要作用是来完成后续的插入旋转删除……操作：

//AVL树的类 template<class K, class V> class AVLTree { typedef AVLTreeNode<K, V> Node; public: //…… private: Node* _root; };

5、AVL树的插入

插入主要分为这几大步骤：

• 1、一开始为空树，直接new新节点
• 2、一开始非空树，寻找插入的合适位置
• 3、找到插入的合适位置后，进行父亲与孩子的双向链接
• 4、更新新插入的节点祖先的平衡因子
• 5、针对不合规的平衡因子进行旋转调整

接下来对其进行逐个分析：

• 1、一开始为空树，直接new新节点：

因为树为空的，所以直接new一个新插入的节点，将其作为根_root即可，接着更新平衡因子_bf为0，最后返回true。

• 2、一开始非空树，寻找插入的合适位置：

这里和二叉搜索树的寻找合适的插入位置的思想一样，都要遵循以下几步：

1. 插入的值 > 节点的值，更新到右子树查找
2. 插入的值 < 节点的值，更新到左子树查找
3. 插入的值 = 节点的值，数据冗余插入失败，返回false

当循环结束的时候，就说明已经找到插入的合适位置，即可进行下一步链接。

• 3、找到插入的合适位置后，进行父亲与孩子的双向链接：

注意这里节点的构成为三叉链，因此最后链接后端孩子和父亲是双向链接，具体操作如下：

1. 插入的值 > 父亲的值，把插入的值链接在父亲的右边
2. 插入的值 < 父亲的值，把插入的值链接在父亲的左边
3. 因为是三叉连，插入后记得双向链接（孩子链接父亲）

走到这，说明节点已经插入完毕，但是接下来就要更新平衡因子了

• 4、更新新插入的节点祖先的平衡因子：

当我们插入新节点后，子树的高度可能会发生变化，针对这一变化，我们给出以下要求：

1. 子树的高度变了，就要继续往上更新
2. 子树的高度不变，则更新完成
3. 子树违反平衡规则（平衡因子的绝对值 >= 2），则停止更新，需要旋转子树进行调整

具体的更新规则如下：

1. 新增结点在parent的右边，parent的平衡因子++
2. 新增结点在parent的左边，parent的平衡因子--

每更新完一个节点的平衡因子后，都要进行如下判断：

1. 如果parent的平衡因子等于-1或者1（说明原先是0，左右登高，插入节点后使左子树或右子树增高了）。表明还需要继续往上更新平衡因子。
2. 如果parent的平衡因子等于0（说明原先是1或-1，一高一低，插入节点后填上了矮的那一方）表明无需更新平衡因子了。
3. 如果parent的平衡因子等于-2或者2（说明原先是1或-1，一高一低，插入节点后填上了高的那一方），表明此时以parent结点为根结点的子树已经不平衡了，需要进行旋转处理。

图示如下：

• 5、针对不合规的平衡因子进行旋转调整：

当父亲parent的平衡因子为2或-2时，就要进行旋转调整了，而又要分为以下4类进行旋转：

1. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为1时，进行左单旋。
2. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为-1时，进行右单旋
3. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为1时，进行左右双旋。
4. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为-1时，进行右左双旋。

代码如下：

//Insert插入 bool Insert(const pair<K, V>& kv) { //1、一开始为空树，直接new新节点 if (_root == nullptr) { //如果_root一开始为空树，直接new一个kv的节点，更新_root和_bf _root = new Node(kv); _root->_bf = 0; return true; } //2、寻找插入的合适位置 Node* cur = _root;//记录插入的位置 Node* parent = nullptr;//保存parent为cur的父亲 while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { //插入的值 > 节点的值 parent = cur; cur = cur->_right;//更新到右子树查找 } else if (cur->_kv.first > kv.first) { //插入的值 < 节点的值 parent = cur; cur = cur->_left;//更新到左子树查找 } else { //插入的值 = 节点的值，数据冗余插入失败，返回false return false; } } //3、找到了插入的位置，进行父亲与插入节点的链接 cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first < kv.first) { //插入的值 > 父亲的值，链接在父亲的右边 parent->_right = cur; } else { //插入的值 < 父亲的值，链接在父亲的左边 parent->_left = cur; } //因为是三叉连，插入后记得双向链接（孩子链接父亲） cur->_parent = parent; //4、更新新插入节点的祖先的平衡因子 while (parent)//最远要更新到根 { if (cur == parent->_right) { parent->_bf++;//新增结点在parent的右边，parent的平衡因子++ } else { parent->_bf--;//新增结点在parent的左边，parent的平衡因子 -- } //判断是否继续更新？ if (parent->_bf == 0)// 1 or -1 -> 0 填上了矮的那一方 { //1 or -1 -》 0 填上了矮的那一方，此时正好，无需更新 break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { //0 -》 1或-1 此时说明插入节点导致一边变高了，继续更新祖先 cur = cur->_parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { //1 or -1 -》2或-2 插入节点导致本来高的一边又变更高了 //此时子树不平衡，需要进行旋转 if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { RotateL(parent);//右边高，左单旋 } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { RotateR(parent);//左边高，右单旋 } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent);//左右双旋 } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent);//右左双旋 } break; } else { //插入之前AVL树就存在不平衡树，|平衡因子| >= 2的节点 //实际上根据前面的判断不可能走到这一步，不过这里其实是为了检测先前的插入是否存在问题 assert(false); } } return true; }

6、AVL树的旋转

AVL树的旋转分为4种：

1. 左单旋
2. 右单旋
3. 左右双旋
4. 右左双旋

AVL树的旋转要遵循下面两个原则：

• 1、保持搜索树的规则
• 2、子树变平衡

左单旋

• 条件：新节点插入较高右子树的右侧

图示：

鉴于左单旋的情况非常多，这里我们画一张抽象图来演示：

这里的长方形条（a、b、c）表示的是子树，h为子树的高度，而30和60为实打实的节点。上述左单旋操作主要是完成了四件事：

1. 让subRL变成parent的右子树，更新subRL的父亲为parent
2. 让subR变成根节点
3. 让parent变成subR的左子树，更新parent的父亲为subR
4. 更新平衡因子

注意：

1. parent可能为整棵树的一个子树，则需要链接parent的父亲和subR。
2. subRL可能为空，但是更新subRL的父亲为parent是建立在subRL不为空的前提下完成的。

解释为何上述左单旋的可行性：

• 首先，根据底层二叉搜索树的结构：b节点的值肯定是在30~60之间的，b去做30的右子树没有任何问题，且这里把60挪到根部，随即把30作为60的右子树，这样整体的变化就像是一个左旋一样，而且也满足二叉搜索树的性质且均平衡。

代码如下：

void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; Node* ppNode = parent->_parent;//提前保持parent的父亲 //1、建立parent和subRL之间的关系 parent->_right = subRL; if (subRL)//防止subRL为空 { subRL->_parent = parent; } //2、建立subR和parent之间的关系 subR->_left = parent; parent->_parent = subR; //3、建立ppNode和subR之间的关系 if (parent == _root) { _root = subR; _root->_parent = nullptr; } else { if (parent == ppNode->_left) { ppNode->_left = subR; } else { ppNode->_right = subR; } subR->_parent = ppNode;//三叉链双向链接关系 } //4、更新平衡因子 subR->_bf = parent->_bf = 0; }

右单旋

• 条件：新节点插入较高左子树的左侧

图示：

同样这里的长方形条（a、b、c）表示的是子树，h为子树的高度，而30和60为实打实的节点。上述左单旋操作主要是完成了四件事：

1. 让subLR变成parent的左子树，更新subLR的父亲为parent
2. 让subL变成根节点
3. 让parent变成subL的右子树，更新parent的父亲为subL
4. 更新平衡因子

注意：

1. parent可能为整棵树的一个子树，则需要链接parent的父亲和subL。
2. subLR可能为空，但是更新subLR的父亲为parent是建立在subLR不为空的前提下完成的。

代码如下：

//2、右单旋 void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; Node* ppNode = parent->_parent; //1、建立parent和subLR之间的关系 parent->_left = subLR; if (subLR) { subLR->_parent = parent; } //2、建立subL和parent之间的关系 subL->_right = parent; parent->_parent = subL; //3、建立ppNode和subL的关系 if (parent == _root) { _root = subL; _root->_parent = nullptr; } else { if (parent == ppNode->_left) { ppNode->_left = subL; } else { ppNode->_right = subL; } subL->_parent = ppNode;//三叉链双向关系 } //4、更新平衡因子 subL->_bf = parent->_bf = 0; }

左右双旋

• 条件：新节点插入较高左子树的右侧

接下来图示解析左右双旋的具体解法。

• 1、插入新节点：

此类模型既不满足左单旋的条件也不满足右单旋的条件，但是我们可以将其组合起来，即左右双旋（先左单旋，再右单旋）的办法重新建立平衡。接下来执行下一步左单旋：

• 2、以节点30（subL）为旋转点左单旋：

此时再观察这幅图，这部就是一个妥妥的右单旋模型吗，把60的左子树看成一个整体，此时新插入的节点即插入较高左子树的左侧，刚好符合右单旋的性质，接下来即可进行右单旋：

• 3、以节点90（parent）为旋转点进行右单旋：

此时左右双旋已经完成，最后一步为更新平衡因子，但是更新平衡因子又分如下三类：

• 1、当subLR原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0。

• 2、当subLR原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0。

• 3、当subLR原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0。

这里可以看出唯有subLR平衡因子为0的情况下在进行左右旋转后，三个节点的平衡因子都要更新为0。

• 代码如下

//3、左右双旋 void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf;//提前记录subLR的平衡因子 //1、以subL为根传入左单旋 RotateL(subL); //2、以parent为根传入右单旋 RotateR(parent); //3、重新更新平衡因子 if (bf == 0) { parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else { assert(false);//此时说明旋转前就有问题，检查 } }

右左双旋

• 条件：新节点插入较高右子树的左侧

接下来图示解析左右双旋的具体解法。

• 1、插入新节点：

注意这里的新节点插在了较高右子树的左侧，不能用上文的单旋转以及左右旋转，相反而应使用右左旋转（先右单旋，再左单旋）来解决，接下来执行下一步右单旋：

• 2、以节点90（subR）为旋转点右单旋：

此时再观察这幅图，这部就是一个妥妥的左单旋模型吗，把60的右子树看成一个整体，此时新插入的节点即插入较高右子树的右侧，刚好符合左单旋的性质，接下来即可进行左单旋：

• 3、以节点30（parent）为旋转点左单旋：

此时左右双旋已经完成，最后一步为更新平衡因子，但是更新平衡因子又分如下三类：

• 1、当subRL原始平衡因子是-1时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、1、0。

• 2、当subRL原始平衡因子是1时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为-1、0、0。

• 3、当subRL原始平衡因子是0时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、0、0。

这里可以看出唯有subRL平衡因子为0的情况下在进行左右旋转后，三个节点的平衡因子都要更新为0。

• 代码如下：

//4、右左双旋 void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf;//提前记录subLR的平衡因子 //1、以subL为根传入左单旋 RotateR(subR); //2、以parent为根传入右单旋 RotateL(parent); //3、重新更新平衡因子 if (bf == 0) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; } else { assert(false);//此时说明旋转前就有问题，检查 } }

7、AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，就是看它是否为二叉搜索树，以及是否为一颗平衡树。接下来分别讨论：

• 1、验证其为二叉搜索树：

这里我们只需要进行中序遍历看看结果是否可得到一个有序的序列，如果可以则证明是二叉搜索树，而中序遍历的实现非常简单，先前的二叉搜索树的实现已然完成过，这里直接给出代码：

//中序遍历的子树 void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _InOrder(root->_right); } //中序遍历 void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; }

检测是否为二叉搜索树的代码实现后，接下来开始验证是否为平衡树。

• 2、验证其为平衡树：

规则如下：（递归的思想）

1. 空树也是平衡树，一开始就要判断
2. 封装一个专门计算高度的函数（递归计算高度）后续用来计算高度差（平衡因子diff）
3. 如过diff不等于root的平衡因子（root->_bf），或root平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
4. 继续递归到子树&&右树，直至结束

代码如下：

//验证一棵树是否为平衡树 bool IsBalanceTree() { return _IsBalanceTree(_root); } //判读是否平衡的子树 bool _IsBalanceTree(Node* root) { //空树也是AVL树 if (nullptr == root) return true; //计算root节点的平衡因子diff：即root左右子树的高度差 int leftHeight = _Height(root->_left); int rightHeight = _Height(root->_right); int diff = rightHeight - leftHeight; //如果计算出的平衡因子与root的平衡因子不相等，或root平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树 if ((abs(diff) > 1)) { cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl; return false; } if (diff != root->_bf) { cout << root->_kv.first << "节点平衡因子与root的平衡因子不等，不符合实际" << endl; return false; } //继续递归检测，直到结束 return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right); } //求高度的子树 int _Height(Node* root) { if (root == nullptr) return 0; int lh = _Height(root->_left); int rh = _Height(root->_right); return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1; }

综合上述两大步骤的操作即可对一棵树充分的验证是否为AVL树。

8、AVL树的查找

Find查找函数的思路很简单，定义cur指针从根部开始按如下规则遍历：

1. 若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
2. 若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
3. 若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回true。
4. 若遍历一圈cur走到nullptr了说明没有此结点，返回false

//Find查找 bool Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right;//若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。 } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left;//若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。 } else { return true;//若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回true。 } } return false;//遍历一圈没找到返回false }

9、AVL树的删除（了解）

因为AVL树也是二叉搜索树，主要是三个大思路：

1. 按二叉搜索树的规则删除
2. 更新平衡因子
3. 出现不平衡，需要旋转调整

只不过与搜索二叉树的删除不同的是，删除节点后的平衡因子需要不断更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体这里就不再实现了，因为着实有点复杂。不过《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版这两本书上是有详细的讲解的哈。

10、AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。