渲染方程--光线追踪

0、前言

光线追踪的渲染方程：

看起来复杂，其实意思很朴素：

朝眼睛方向出去的光
= 物体自己发出的光 + 从四面八方照过来、经过材质反射后出去的光。

各部分含义：

• ​：朝摄像机方向离开的 Radiance
• ​：物体自己发出的光，比如灯泡
• ​：从某个方向射来的 Radiance
• ​：材质如何反射光，也就是 BRDF，包含漫反射和镜面反射
• cos⁡θ：斜着来的光贡献较少
• 积分：把上方所有入射方向都考虑进去

1、光源的Radiance怎么求

1.1、Radiance 的定义

假设光源表面有一小块微元面积 dA，它朝某个立体角方向 dω，发射出去的功率

Radiance中文名辐射亮度，即表面微元的半球方向上，所有方向的亮度都是相同的

Radiance的微分方程为：

各符号的含义：

• ​：光源发出的 Radiance
• ：光功率，单位是瓦特W
• ：光源上的一小块面积
• ：一小片方向范围，单位是立体角sr
• θ：发光方向与光源表面法线的夹角
• cos⁡θ dA：从该方向看过去的“有效面积”

单位是：

W/(⋅sr)

这里下标 e 表示 emitted，也就是“发射出去的”。

1.2、为什么有一个 cos⁡θ

想象一扇发光的窗户。

正对窗户看，能看到完整的一大块：

观察方向 ---> | 窗户 |

斜着看，窗户看起来变窄了：

观察方向 ---> / 窗户 /

它在这个方向上的有效面积是：

=Acos⁡θ

因此，一小块面积朝一小片方向发出的功率是：

=(x,ω) cos⁡θ dA dω

即：

发出的功率 = Radiance × 有效面积 × 方向。

这个公式比定义公式更适合直观理解。

1.3、最常见情况：均匀漫射面积光源怎么计算Radiance

现实中的柔光灯、发光面板，在简化模型中经常被当成Lambertian emitter（朗伯发光体）。

它的特点是：

(x,ω) =

也就是：

只要方向在光源正面，Radiance 对所有方向都相同。

这里有一个很容易误解的地方：

“Radiance 相同”不代表朝所有角度发出的总功率相同。

因为实际功率里还有 cos⁡θ：

=cos⁡θ dA dω

所以：

• 正前方：cos⁡0∘=1，发得最多
• 60 度方向：cos⁡60∘=0.5
• 接近平行：cos⁡90∘=0，几乎不发

1.3.1、单面光源，已知总功率，怎么计算 Radiance

假设有一块面积为 A的均匀面光源：

• 只向正面半球发光
• 总辐射功率为
• 各处亮度相同
• 是朗伯发光体

那么：

这就是渲染里非常常用的公式。

例：

一块面积为：

A=2

的发光面板，只向正面发出：

=100 W

那么它的 Radiance 是：

约等于：

≈ 15.9 W/()

因为它是朗伯光源，所以从正面、30 度或60 度方向查询，得到的都是 15.9。

但是它朝斜方向实际分配的功率会被减少。

1.3.2、为什么公式里是Pi，不是 2Pi

光源正面的所有方向组成半球，半球的立体角确实是：

但不能直接写成：

这是错误的。

因为不同方向的有效面积= cos⁡θdA，

把整个半球方向的积分后：，不再具体推导

所以 得到

1.3.3、双面光源怎么计算Radiance

如果一个面积光源正反两面都发光，而且总功率是两面加起来的，那么：

1.4、点光源怎么计算Radiance

1.4.1、无半径的点光源

理想点光源面积为零。如果把：

A=0

代入：

结果会变成无穷大。

距离点光源 r 的表面，接收到的 Irradiance 为：

这就是点光源常见的平方反比衰减。

还有一个公式挺重要，可以求无半径点光源到 物体表面的入射，：

E: Irradiance 单位面积上的功率，单位 W/()

当然这里其实还要加上（为入射光线与 反射面法线的夹角）

那么距离点光源 r 的表面的反射,

1.4.2、有半径的点（球形）光源

（只需要考略表面微元的半球方向）