摘要：本文介绍一阶高通滤波器的差分方程及其参数含义，并通过对比不同系数取值（0.75、0.984375、0.5、0.25、0.125、0.0625）下的性能表现，分析各参数对应的应用场景。文中给出了差分方程的推导与频域理解，并结合嵌入式系统（如 STM32、8051F 系列）中利用位移运算替代浮点运算的工程实践，通过对比表格展示了各系数在截止频率、响应速度与平滑程度上的差异，为不同信号处理场景下的系数选择提供参考。
速览
- 一阶高通滤波器差分方程：y[n] = (1-α)·x[n] - α·y[n-1]。
- α 越接近 1，截止频率越低、输出越平滑；反之响应越快。
- 取 2 的幂次倒数系数，可用位移运算替代浮点，提升速度。
- 大 α 抑制低频漂移，小 α 捕捉高频瞬态，按场景选值。
1. 引言
一阶高通滤波器是数字信号处理中的基础模块，用于保留高频分量、抑制低频分量。本文先给出其差分方程，再通过不同系数取值的性能对比，分析各参数对应的应用场景。
2. 差分方程
一阶高通滤波器的差分方程通常表示为：
$$
y[n] = (1 - \alpha) \cdot x[n] - \alpha \cdot y[n-1]
$$
其中，$y[n]$ 是当前输出，$x[n]$ 是当前输入，$y[n-1]$ 是上一时刻的输出，$\alpha$ 是滤波器的系数。
该差分方程的含义是：当前输出 $y[n]$ 由当前输入 $x[n]$ 与上一时刻输出 $y[n-1]$ 共同决定。系数 $\alpha$ 的取值范围为 $0 < \alpha < 1$，它直接决定了滤波器的截止频率与响应特性。
当 $\alpha$ 越接近 1 时，滤波器对低频分量的抑制能力越强，截止频率越低，输出信号更平滑；当 $\alpha$ 越接近 0 时，滤波器对低频分量的抑制能力越弱，截止频率越高，输出信号更接近原始输入。
此外，该差分方程还可以从频域角度理解：高通滤波器的频率响应会随 $\alpha$ 的变化而改变，$\alpha$ 越大，通带越窄，对高频分量的保留越有选择性。
2.1 从模拟高通滤波器到数字差分方程
一阶模拟高通滤波器的传递函数可以表示为：
$$
H(s) = \frac{s}{s + \omega_c}
$$
其中，$s$ 是拉普拉斯变量，$\omega_c = 2\pi f_c$ 是模拟截止角频率。该传递函数在直流处（$s = 0$）增益为零，在高频处增益趋近于 1，符合高通滤波器的基本特性。
要将模拟滤波器转换为数字差分方程，需要将 $s$ 域映射到 $z$ 域。常用的离散化方法有前向欧拉法和双线性变换法，下面分别介绍。
（1）前向欧拉法
前向欧拉法用一阶差分近似微分算子，其映射关系为：
$$
s = \frac{1 - z^{-1}}{T}
$$
其中，$T$ 是采样周期。将上式代入模拟传递函数 $H(s) = \frac{s}{s + \omega_c}$，可得：
$$
H(z) = \frac{\frac{1 - z^{-1}}{T}}{\frac{1 - z^{-1}}{T} + \omega_c} = \frac{1 - z^{-1}}{1 - z^{-1} + \omega_c T}
$$
令 $\alpha = \frac{1}{1 + \omega_c T}$，则上式可整理为：
$$
H(z) = \alpha \cdot (1 - z^{-1}) \cdot \frac{1}{1 - \alpha z^{-1}}
$$
对应的差分方程为：
$$
y[n] = \alpha \cdot (x[n] - x[n-1]) + \alpha \cdot y[n-1]
$$
需要注意的是，前向欧拉法在 $\omega_c T$ 较大时可能不稳定，因此更适合采样率较高、$\omega_c T$ 较小的场合。
（2）双线性变换法
双线性变换法通过以下映射关系将 $s$ 域映射到 $z$ 域：
$$
s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
$$
代入模拟传递函数 $H(s) = \frac{s}{s + \omega_c}$，可得：
$$
H(z) = \frac{\frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}}{\frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} + \omega_c}
$$
整理后得到：
$$
H(z) = \frac{2(1 - z^{-1})}{2(1 - z^{-1}) + \omega_c T (1 + z^{-1})}
$$
令 $\alpha = \frac{2}{2 + \omega_c T}$，则：
$$
H(z) = \alpha \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 - (1 - \alpha) z^{-1}}
$$
对应的差分方程为：
$$
y[n] = \alpha \cdot (x[n] - x[n-1]) + (1 - \alpha) \cdot y[n-1]
$$
双线性变换法将整个 $s$ 平面映射到 $z$ 平面的单位圆内，稳定性好，且不会产生频率混叠，是工程中更常用的离散化方法。
2.2 α 与采样周期 T 的关系
从上述推导可以看出，系数 $\alpha$ 与采样周期 $T$ 之间存在明确的对应关系。以双线性变换法为例：
$$
\alpha = \frac{2}{2 + \omega_c T} = \frac{2}{2 + 2\pi f_c T}
$$
由此可得以下结论：
- 采样周期 T 越大，$\omega_c T$ 越大，$\alpha$ 越小，截止频率相对采样率越低，滤波器对高频分量的保留越充分，响应越快。
- 采样周期 T 越小，$\omega_c T$ 越小，$\alpha$ 越接近 1，截止频率相对采样率越高，输出越平滑，但对输入变化的响应越慢。
- 在嵌入式系统中，采样周期 $T$ 由定时器或 ADC 采样率决定，一旦确定 $T$，即可根据目标截止频率 $f_c$ 计算出对应的 $\alpha$ 值。
反过来，若已知 $\alpha$ 和采样周期 $T$，也可以反推截止频率：
$$
f_c = \frac{1 - \alpha}{\pi T (1 + \alpha)}
$$
当 $\alpha$ 接近 1 时，上式可近似为 $f_c \approx \frac{1 - \alpha}{2\pi T}$，这与本文第 3 节中使用的截止频率估算公式一致。因此，$\alpha$ 的取值本质上反映了截止频率与采样周期之间的相对关系，选择 $\alpha$ 时需要同时考虑信号频率范围和系统采样率。
3. 系数取值与性能对比
本节分别取 alpha 为 0.75=3/4、0.984375=63/64、0.5=1/2、0.25=1/4、0.125=1/8、0.0625=1/16，进行性能对比，并分析各自的应用场景。在嵌入式系统和单片机中，资源很少情况下，取这些值，可以用位移运算代替浮点运算，可以减少代码，增加计算速度，以下基于STM32系列和8051F系列为例进行分析。
为便于对比，下表汇总了各系数取值对应的截止频率特性、响应速度与典型应用场景。其中截止频率按一阶高通滤波器公式 $f_c = \frac{1 - \alpha}{2\pi \cdot T}$ 估算（T 为采样周期，此处按归一化处理）。
| 系数 α | 分数表示 | 截止频率（归一化） | 响应速度 | 平滑程度 | 典型应用场景 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.984375 | 63/64 | 极低（约 0.0025） | 慢 | 极平滑 | 低频漂移抑制、慢变信号去趋势 |
| 0.75 | 3/4 | 较低（约 0.04） | 较慢 | 较平滑 | 去除直流偏置、基线漂移校正 |
| 0.5 | 1/2 | 中等（约 0.08） | 中等 | 中等 | 通用高通滤波、音频去低频噪声 |
| 0.25 | 1/4 | 较高（约 0.12） | 较快 | 较弱 | 边缘检测、瞬态信号提取 |
| 0.125 | 1/8 | 高（约 0.14） | 快 | 弱 | 高频振动监测、快速变化信号 |
| 0.0625 | 1/16 | 很高（约 0.15） | 很快 | 极弱 | 高频脉冲检测、尖峰信号提取 |
从性能对比可以看出，系数 α 的取值本质上是截止频率与响应速度之间的权衡：α 越接近 1，截止频率越低、输出越平滑，但对输入变化的响应越慢；α 越接近 0，截止频率越高、响应越快，但平滑能力越弱，输出更接近原始输入中的高频成分。
在实际工程中，选择系数时需要结合信号特征与处理目标：若信号以低频漂移为主，应选择较大的 α（如 0.75 或 0.984375）以有效抑制低频分量；若需要捕捉快速变化的瞬态信号，则应选择较小的 α（如 0.125 或 0.0625）以保证足够的响应速度。
