零知识证明在NP问题中的应用与分析
1. 零知识证明相关基础推导与性质分析
在零知识证明的研究中，涉及到一系列的概率推导和性质分析。首先定义了两个概率：
- (p’{u_n,v_n}(G_n) = Pr[X|e{u_n} \neq e_{v_n}] = Pr[X]/Pr[e_{u_n} \neq e_{v_n}])
- (p_{u_n,v_n}(G_n) = Pr[X|M^(G_n) \neq \perp] = Pr[X]/Pr[M^(G_n) \neq \perp])
利用 (Pr[e_{u_n} \neq e_{v_n}] = \frac{2}{3} \approx Pr[M^*(G_n) \neq \perp])（这里 (\approx) 表示相差一个可忽略（关于 (n)）的量），可以得出 (|p’{u_n,v_n}(G_n) - p{u_n,v_n}(G_n)|) 是可忽略（关于 (n)）的。
通过一系列推导还得到：
(\left|Pr[A_n(C(1^n2^n3^n)) = 1] - Pr[A_n(C(T^{3n})) = 1]\right| > \frac{1}{3 \cdot p(n)^2})
这表明电路族 ({A_n}) 能够区分对 ({1^n2^n3^n}) 的承诺和对 ({T^{3n}}) 的承诺，结合平均论证和混合论证，可得出存在一个多项式规模的电路族能够区分承诺，这与承诺方案的非均匀保密性相矛盾。
2. 承诺方案与零知识性质
在构造零知识证明系统时，使用了单向承诺方案。单向承诺方案的一个基本性质是，当（
