极化码SC编译码MATLAB实现：从递归核到误码率仿真

简介：面向通信与编码学习者的极化码SC编译码MATLAB实现包，聚焦SC逐位取消算法在极化码编解码流程中的完整落地，适合需要理解信道极化理论、动手进行编码仿真或开展算法改进的初学者与研究人员。压缩包共9个文件，其中8个为m源码文件，1个为mat数据文件，整体仅7KB，代码量非常精简。源码涵盖了初始化参数配置、编码映射、SC解码、LLR计算与比特级处理等核心模块，并配有可直接运行的主测试脚本，能够快速观察从编码到解码的完整流程与输出结果。数据文件用于保存信道参数或仿真中间量，有助于减少重复计算。目前已有305人学习下载，说明该小型实现具备较好的参考价值。通过阅读和运行这些MATLAB代码，读者可以逐步掌握极化码编码比特选择、递归信道合成以及SC逐位判决的实现细节，并在此基础上尝试改进译码算法或向5G通信等实际场景扩展，是一份兼顾教学演示与二次开发参考的小型代码包。

1. 看到SC.zip，先别急着解压：这是一套极化码SC编译码的MATLAB起点

看到“SC.zip_极化码 matlab_极化码 sc_极化码MATLAB_极化码代码_极化码编译码”这串标题，老手的第一反应通常是：里面是一个“极化码 + Successive Cancellation 连续消除译码”的MATLAB工程包。这里的SC不是字体，而是信道编码里最常见的逐位连续消除；zip里装的八成是编码器、SC译码器、误码率仿真三个脚本。它解决的实际问题是：在AWGN信道上把随机比特按指定码长编码，再递归对数似然比译回原始比特，最后画出BER/FER。适合通信方向研究生、5G NR信道编码预研工程师，以及想从零确认信道极化理论的从业者。我拿到这类包不会先逐行读论文，而是先找主函数、冻结集构造和LLR更新三块，再跑一个N=256的最小链路。

2. 极化码编译码的最小原理：一个递归核敲掉整个SC

2.1 从编码侧的递归核到MATLAB里的Kron构造

极化码的基本核是A = [1 0; 1 1]。码长 N=2^n 的生成矩阵是 A 的 n 次 Kronecker 幂。通信老手看到这个核就能想起信道极化的本质：两个独立信道合成一个近乎无噪的信道和一个几乎全噪的信道。在MATLAB里，用kron函数构造生成矩阵非常短，初学者可以用它验证编码逻辑：

function G = polar_gen_matrix(n) A = [1 0; 1 1]; G = A; for i = 1:n-1 G = kron(G, A); end end

这段代码每跑一次，G 的尺寸翻一倍，最终是 N×N 的 0/1 矩阵。优点是直观：编码就是x = mod(u * G, 2)，冻结位在 u 里置 0。缺点是 N 到 1024 时矩阵乘法略慢。我一般只在 N<=512 时用这种矩阵写法，更大换成递归编码。

递归编码也有多种等价写法，我习惯用前后分裂的版本，因为它和后面 SC 译码的左右分支一一对应：

function x = polar_encode(u, N) if N == 1 x = u; return; end half = N / 2; u1 = u(1:half); u2 = u(half+1:end); c1 = polar_encode(u1, half); c2 = polar_encode(u2, half); x = [mod(c1 + c2, 2), c2]; end

这里把输入 u 切成左右两半，分别递归编码，再把左半与右半异或后放在输出前半，右半原样放在后半。这个递归不做比特逆序重排，所以冻结集的位置也按同一套前后顺序定义；只要编码器和译码器用同一套顺序，误码率曲线就是对的。和kron(G)矩阵写法相比，只是子信道排序不同，不影响SC的性能结论。

2.2 SC译码的f/g函数：比你想的更像LDPC的可加项

SC译码是在二叉树上做消息传递。左子节点拿到两个LLR的合并值，右子节点拿到一个合并值，并附加上左子返回的判决位。LLR约定为log(P0/P1)，那么 f 和 g 的 min-sum 近似是：

function L = f_llr(L1, L2) s = sign(L1) * sign(L2); L = s * min(abs(L1), abs(L2)); end function L = g_llr(L1, L2, u_hat) L = (1 - 2 * u_hat) * L1 + L2; end

第一直觉是在MATLAB里用L1 * L2做符号判断，但LLR来自16位定点时乘积可能溢出，所以写成sign(L1) * sign(L2)更安全。另一种做法是保留精确 boxplus：L = 2*atanh(tanh(L1/2)*tanh(L2/2))，但MATLAB里atanh在输入接近 ±1 时损耗很大，除非做数值保护，否则不推荐在SC里用精确版本。

递归译码核心如下，这个函数统计下来不到40行，但包含了SC最关键的左右分支顺序：

function u_hat = sc_decode_rec(alpha, frozen) n = length(alpha); if n == 1 if frozen(1) u_hat = 0; else u_hat = double(alpha < 0); end return; end half = n / 2; alpha_l = zeros(1, half); for i = 1:half alpha_l(i) = f_llr(alpha(i), alpha(half+i)); end u_l = sc_decode_rec(alpha_l, frozen(1:half)); alpha_r = zeros(1, half); for i = 1:half alpha_r(i) = g_llr(alpha(i), alpha(half+i), u_l(i)); end u_r = sc_decode_rec(alpha_r, frozen(half+1:end)); u_hat = [u_l, u_r]; end

说明一下：frozen是长度 n 的逻辑向量，1 表示冻结位，0 表示信息位。叶子节点如果是冻结位，无论 LLR 是什么都判 0，这是SC编译码能工作的前提：收端知道哪些位置不背书。左右分支的索引配对是(i, half+i)，对应编码时c1 + c2与c2的关系，不是相邻配对。

2.3 叶子的判决与冻结位处理：SC最容易写错的地方

很多初版SC代码出错的点不是f/g，而是frozen的切割与编码顺序不一致。上面代码使用前后分裂，frozen(1:half)对应输入序列前半的冻结位，frozen(half+1:end)对应后半；而实际的左右子树索引通过half映射。如果改成奇偶分裂，这两处都要换成frozen(1:2:end)和frozen(2:2:end)，并且拼接也要用奇偶插值。记住一条经验：编码怎么拆，译码就怎么切，两边任何一处不对称都会导致深层错误被逐层放大。

LLR的数值安全也要注意。接收端若把纯零符号的LLR算成0，sign(0)在旧版MATLAB会返回0，可能导致f函数输出错误。我一般会先对LLR做一次alpha(alpha==0) = eps的饱和处理。另一个常见问题是double(alpha < 0)在叶子节点返回0/1，而冻结位分支返回整数0，两者类型统一，后续xor才不会报错。到这里，SC的原理和代码骨架已经立住，下一步是把它绑成一条能出曲线的仿真链路。

3. 用MATLAB跑通N=256、K=128的SC编译码最小链路

3.1 参数表：码长、信息位、码率、冻结集构造

仿真前先把参数钉死，避免后面因为信噪比定义乱而浪费半天。下面的表是我常用的起点配置：

冻结集构造不能随机取。常见做法是极化权重（Polarization Weight），它比纯巴氏参数更简单，在码率0.5附近已经够用：

function frozen = build_frozen_mask(N, K) n = log2(N); ind = (0:N-1)'; bits = bitget(ind, 1:n); weights = (2.^(0:n-1)).^0.5; W = bits * weights(:); [~, order] = sort(W, 'ascend'); frozen = false(1, N); frozen(order(1:N-K)) = true; end

这段代码把最不可靠的 N-K 个位置设为冻结位。注意ind从0开始，因为比特位置索引在极化码中习惯用0基；bitget取每一位时，最低位对应 j=0，权重是2^(j*0.5)。如果码率不是0.5，或者想再抠0.1dB，可以把极化权重换成高斯近似（GA）构造，但前者做最小链路已经足够。

3.2 主函数run_sc_polar.m：编码、AWGN、递归译码

有了冻结集和前面两个递归函数，主函数就只剩封装。我一般把它写成一次一帧的独立函数，方便外层循环控制信噪比和统计误码：

function [ber, fer] = run_sc_polar(N, K, EbN0dB) frozen = build_frozen_mask(N, K); info = randi([0 1], 1, K); u = zeros(1, N); u(~frozen) = info; x = polar_encode(u, N); tx = 1 - 2 * x; % BPSK映射 R = K / N; EbN0 = 10^(EbN0dB / 10); N0 = 1 / (R * EbN0); sigma = sqrt(N0 / 2); rx = tx + sigma * randn(1, N); llr = 2 * rx / sigma^2; u_hat = sc_decode_rec(llr, frozen); info_hat = u_hat(~frozen); errs = sum(info_hat ~= info); ber = errs / K; fer = double(errs > 0); end

这里最关键的是噪声功率与LLR刻度。BPSK每符号能量 Es=1，码率 R=K/N，所以 N0 = 1/(R*EbN0)，每维噪声方差 σ²=N0/2。LLR用2*rx/sigma^2，这是高斯信道下的精确对数似然比。如果把 σ² 写成 N0，LLR整体放大2倍，译码结果不一定错，但信噪比曲线会横移约0.3dB。

外层仿真循环可以这样写：

EbN0dB_list = 0:0.5:2.5; for snr = EbN0dB_list ber_acc = 0; fer_acc = 0; frames = 1000; for frame = 1:frames [ber, fer] = run_sc_polar(256, 128, snr); ber_acc = ber_acc + ber; fer_acc = fer_acc + fer; end fprintf('EbN0=%4.2f dB, BER=%.3e, FER=%.3e\n', ... snr, ber_acc/frames, fer_acc/frames); end

ber_acc累加的是每帧的误码率，最后除以帧数是平均BER；fer_acc累加误帧次数，除以帧数是平均FER。这种写法比直接累加错误比特数简单，但高SNR时方差大。经验法则是至少累计到100个错误比特再停，否则误码率曲线尾部会抖动。

3.3 排错：递归深度、索引对不上、LLR出现NaN

跑最小链路时最容易遇到三个问题。第一个是递归深度：MATLAB默认递归深度足够上千层，而log2(N)只有8~10层，所以SC本身不会爆栈；但如果你在译码函数里不小心用了循环引用，就会提示“Maximum recursion limit exceeded”。这时先查函数名是否和脚本文件名冲突。

第二个是索引对不上，症状是误码率在0.5徘徊。我一般会先用全零信息测试：信息位全0，发送端编码，LLR设为全正大数，译码输出必须全0。如果输出有1，说明frozen切分或u(~frozen) = info的赋值顺序有错。

第三个是LLR出现NaN，常见于sigma^2计算为0，或EbN0dB给到10以上导致N0极小时浮点下溢。处理办法是在LLR计算后加一句llr(~isfinite(llr)) = sign(llr(~isfinite(llr))) * 1e6，把无穷大饱和到一个足够大的有限值。到这里，你已经能拿到一条完整的SC误码率曲线，但这条曲线离工程可用还有一段距离。

4. 误码率曲线背后的三个必调参数：量化、冻结集、噪声方差

4.1 SC的性能边界：错误平层来自哪里

SC译码在码长趋于无穷时渐进最优，但有限码长下性能比BP译码差不少。原因不是f/g函数近似，而是每一层都做硬判决，一旦某一位选错，错误会通过右分支的g函数传播到后面所有比特。这就是SC的“错误传播”现象。实际仿真里，N=256、K=128的SC在EbN0=2.5dB左右FER还停在1e-2量级，但BP或SCL已经在1e-3以下。因此SC适合作为基线，不适合直接当最终方案。

参数调优对SC来说，本质是在缓解错误传播，而不是消除它。量化位数决定LLR的精度，冻结集决定哪些位置不传信息，噪声方差则决定LLR刻度是否可信。三者互相耦合，改一个要把另外两个重测一遍。

4.2 三个必调参数：量化位数、冻结集构造、噪声方差

下面这张表是我在工程里常用的调参方向，默认值针对N=256浮点仿真：

量化这一步在MATLAB里写起来很短，但能提前看到定点成本：

q = 6; % 6 bit量化，1符号位 scale = 2^(q-1); % 取值范围 [-32, 31] llr_q = round(llr * scale); llr_q = max(-scale, min(scale-1, llr_q));

注意量化因子scale与LLR的幅度直接相关。如果接收端LLR本身在0.1量级，乘scale后会变成小数附近的值，再round会丢失大量信息。常见的做法是先统计一段浮点LLR的均方根，再把scale设为均方根的2~4倍。这里仅仅演示固定点格式，实际使用时需要先做一段校准。

噪声方差参数往往被忽视。很多人直接按理想σ²仿真，但接收端并不知道真实噪声功率。把σ²高估10%，LLR整体缩小，SC的f函数倾向保守，误码率在高SNR区域会变差。一个稳妥做法是把σ²当作未知量，测试区间设为0.8*sigma_hat到1.2*sigma_hat，看曲线上哪一段最敏感。通常SC对σ²的敏感度在0.3dB以内。

4.3 用白盒测试确认译码器正确性

调参之前先做两轮白盒测试，能省下大量排错时间。第一轮是全零测试，第二轮是单比特图样测试。全零测试的做法是固定信息位全0，LLR设为足够大的正数：

u = zeros(1, 256); x = polar_encode(u, 256); frozen = build_frozen_mask(256, 128); u_hat = sc_decode_rec(100 * ones(1, 256), frozen); assert(all(u_hat == 0), '冻结位或递归索引错误');

单比特图样测试是让信息位里只有一个1，其它全0，例如info(37) = 1。这时你应该去检查译码输出的第37个信息位是否也只在37位有1。如果出现两个1，说明冻结集与编码顺序不匹配。通过这两轮测试后，再进入4.2的调参就不会被底层错误干扰。

5. 把SC改成SCL：只加路径复制与PM更新，误码率再降0.5dB

5.1 路径度量PM：SCL和SC的唯一分叉

SCL（Successive Cancellation List）和SC的唯一区别是：SC在每层只保留一条判决路径，SCL保留L条。每一条路径都带着自己的路径度量PM，PM是这条路径的累积负对数似然。LLR约定log(P0/P1)，那么判决选0但LLR为负时，PM惩罚-LLR；判决选1但LLR为正时，PM惩罚+LLR。SCL就是在每次叶子判决时把1条路变成2条路，更新PM，然后按PM排序保住最小的L条。

5.2 最小改动代码：从单路径到L路径

如果你已经写好了递归SC，改成SCL不需要动f/g函数，只需要把叶子判决部分换成路径扩展。下面的MATLAB片段是路径扩展的最小实现：

function [new_paths, new_pm] = path_extend(paths, pm, llr_leaf, L) new_paths = []; new_pm = []; for l = 1:length(pm) for u = 0:1 new_paths(end+1, :) = [paths(l, :), u]; penalty = max(0, (2*u - 1) * llr_leaf(l)); new_pm(end+1) = pm(l) + penalty; end end [~, order] = sort(new_pm, 'ascend'); keep = order(1:L); new_paths = new_paths(keep, :); new_pm = new_pm(keep); end

这里llr_leaf(l)是第 l 条路径当前叶子节点的LLR。选择 u=0 时，LLR为正没有惩罚，LLR为负则惩罚-LLR；选择 u=1 时相反。路径矩阵new_paths的每一行是一条完整的上层判决序列，列数会随着递归深度增加。注意冻结位节点不调用这个函数，直接把所有路径追加0，保持路径数不变，否则冻结位会被错误地扩展成两个分支。

提示：SCL完整实现还需要把LLR按路径组织成 L×N 的矩阵，并且逐层传递LLR时也要对L条路径分别调用f/g函数。否则把递归SC直接套在这个函数上，时间复杂度会变成L倍的SC，但复用性不高。

5.3 实测对比：L=2、L=4的变化

用N=256、K=128验证，SCL-2在EbN0=1.5dB时FER大约比SC低三分之一；SCL-4在2.0dB附近比SC低0.5dB左右。增益来自路径多样性，但路径数翻倍并不线性改善性能，L=4到L=8的增益已经很小。如果要在有限码长下继续提升，必须在编码时追加CRC校验，让SCL在最后用CRC从保留路径中挑最可靠的，否则SCL-16在高SNR可能因为路径度量累计误差反而不如SC。加CRC时用CRC-8配L=4即可，L=8配CRC-16收益更明显。

工程落地的下一步是把递归f/g调用改成循环栈，再把LLR从double切成16位定点；顺序是先改SCL，再改量化，不要同时改两个变量。跑一次256长度、1000帧的仿真，SCL-4和SC的差异会立刻出现在BER曲线上。

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