线性回归做疫情预测：从特征构造到特征泄漏的完整实践指南

拿到一份每日新增病例的历史数据后，很多人第一反应是直接上高级模型：LSTM、Prophet、SIR 微分方程，感觉不堆几个"看起来高级"的算法就不算做过预测。如果你正在头歌这类机器学习实验平台上刷线性回归题目，可能已经习惯了那种干净的小数据集：几十条样本、几个特征，调一下 LinearRegression 打印 R² 就收工。但把线性回归放到真实的疫情走势预测里，事情会立刻变味。

这篇博文我想完整记录一次用线性回归做疫情预测的实操过程，包括怎么把时间序列改造成模型能吃的特征、怎么训练、怎么评估，以及真实预测里几乎必然踩到的几个坑。文章里的数据是模拟生成的，仅用于算法演示，不构成任何现实疫情判断依据。如果你刚学完线性回归基础、想拿一个完整项目练手，这篇文章应该能帮你少走不少弯路。

1. 疫情预测问题的本质：为什么先用线性回归

1.1 任务定义与数据形态

先明确我们要解决什么问题。给定过去 N 天的每日新增病例数，预测未来 M 天的大致走势。原始数据通常只有两列：日期（date）和每日新增病例数（new_cases）。这是一个典型的时间序列预测问题。

所谓"时间序列预测"，就是数据点之间有时间先后关系，第 t 天的数值和它前面的第 t-1 天、第 t-7 天乃至过去一段时间的值都有联系。和普通回归任务不一样，我们手里没有现成的 X 和 y，只有一个孤零零的时间序列。线性回归本身并不"认识时间"，它只能学习特征和目标之间的映射关系。所以第一步不是打开训练函数，而是先想明白：我该构造什么样的特征，才能让一个线性模型从历史数据里学到趋势信息。

这也是很多人第一次做时序预测时最容易卡住的地方。习惯分类问题里"每行一个样本、每列一个特征"的思路后，面对一长串日期和数字会不知道从哪里下手。解决办法是"有监督化"：把时间序列改造成多行特征表格。具体来说，就是用过去几天的数值来预测今天的数值，那么过去的数值就变成特征，今天的数值就变成标签。

1.2 线性假设在疫情数据上到底成立吗

线性回归的核心假设是：目标变量和特征之间存在近似线性关系。如果把日期序号 t 当作唯一特征，模型就是在找一条直线 y = w·t + b，让它尽量贴近历史的每日新增病例曲线。

现实的疫情数据几乎不可能是一条直线。传染病早期往往是指数增长，随后受到各类干预措施、人群免疫力、季节因素影响，会出现增速放缓、到达峰值、然后回落的形态。一条直线无论如何都拟合不出这种"先升后降"的走势。

那为什么还非要先用线性回归？因为它是成本最低的 baseline。在把 LSTM 和 SIR 模型搬出来之前，你需要一个最简单、最稳定、可解释性最强的模型来检验整个数据处理流程是否通畅。线性回归训练只需要几毫秒，结果一目了然，能立刻暴露出特征构造、数据划分、评估方式里的bug。如果线性回归的误差已经小到可以接受，那复杂模型大概率也不会带来质的提升，这时候更应该回头检查数据，而不是继续堆模型。如果线性回归误差很大，那它的误差模式也会告诉你下一步该往哪个方向优化。

2. 数据准备：把时间序列改造成线性模型能吃的表格

2.1 特征构造：滞后特征、日期序号和滚动统计

我从模拟数据开始演示。下面这段代码生成 120 天数据，走势大致是"先缓慢上升、然后波动、最后回落"，比较接近真实疫情数据里"暴发—控制—下降"的形态，但完全不含真实信息：

import numpy as np import pandas as pd np.random.seed(42) days = 120 t = np.arange(days) trend = 20 * np.sin(t / 25) + 0.6 * t noise = np.random.normal(0, 10, days) cases = np.clip(trend + noise, 0, None).astype(int) df = pd.DataFrame({ "date": pd.date_range("2023-01-01", periods=days), "new_cases": cases }) df.head()

拿到原始序列后，至少要构造三类特征：

• 日期序号特征 t：把日期转成从 0 开始的连续整数，让模型能捕捉"整体随时间的上升或下降趋势"。
• 滞后特征：lag1（前一天新增病例）、lag7（一周前同一天的新增病例）。疫情数据通常有周内波动，lag7 往往比 lag1 更有参考意义。
• 滚动统计特征：过去 7 天平均新增病例数。它的作用是平滑掉单日上报波动带来的噪声，让模型看到一个更稳定的"近期水平"。

代码实现也很简单：

df["t"] = np.arange(len(df)) df["lag1"] = df["new_cases"].shift(1) df["lag7"] = df["new_cases"].shift(7) df["rolling7"] = df["new_cases"].shift(1).rolling(7).mean()

这里最需要注意的是滚动均值的 shift(1)。如果直接用 rolling(7).mean()，那么第 t 天的滚动均值里包含了第 t 天自己的新增病例数。训练时模型会"偷看"当天的真实数值，指标虚高，部署到真正预测未来时才露馅。这个细节我后面第 5 章还会专门讲，它是时序预测里最常见也最隐蔽的特征泄漏来源。

特征构造完成后，把缺失值处理掉。lag1 第一行是 NaN，lag7 前 7 行是 NaN，rolling7 前 8 行是 NaN。最简单的做法是立刻丢弃这些行：

df = df.dropna().reset_index(drop=True)

如果数据更长、缺失更多，也可以考虑用中位数填充。但丢行在序列较长时通常更干净，不会引入人为编造的数值。

2.2 训练集与测试集划分：按时间切，不能随机洗牌

这部分是所有刚接触时序预测的人最容易犯的错误。普通回归任务里，我们习惯用 train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42) 随机打乱样本；但在时间序列里，随机打乱等于让模型"偷看未来"。

举个例子：如果某一天的样本被划分到训练集，而它后面一周的样本被划分到测试集，那么训练时模型已经通过 lag7 这一特征学到了"未来"信息。测试集的作用是模拟真实预测场景，真实预测时我们只有过去的数据，没有未来的数据。随机打乱的测试集给不出可信的误差估计。

正确做法是按时间顺序切割：

split_idx = int(len(df) * 0.8) train = df.iloc[:split_idx].copy() test = df.iloc[split_idx:].copy() feature_cols = ["t", "lag1", "lag7", "rolling7"] X_train = train[feature_cols] y_train = train["new_cases"] X_test = test[feature_cols] y_test = test["new_cases"]

用前 80% 的数据训练，后 20% 的数据做测试，模拟"用过去预测未来"的真实场景。这样做出来的评估指标才有参考价值。

3. 建模与训练：从最小二乘解到 sklearn 落地

3.1 最小二乘法与正规方程原理

线性回归的数学形式很简洁。假设特征矩阵为 X，每一行是一个样本的特征，模型要学一组权重 w 和偏置 b，使得 y ≈ Xw + b。把偏置合并进权重后，目标就变成求解：

L(w) = ||Xw - y||²

也就是残差平方和。为什么用平方误差而不是绝对误差？两个原因。第一，平方误差是连续可导的凸函数，能直接通过求导得到全局最优解；第二，它对大误差的惩罚更重，模型会更努力去避免出现严重偏离的预测。当然这也是它的缺点，后面讲异常值影响时会提到。

求 L(w) 对 w 的梯度并令梯度为 0，能得到传说中的正规方程：

w = (XᵀX)⁻¹Xᵀy

这就是热词里经常提到的"线性回归正规矩阵方法"。它给出了线性回归的闭式解，不需要迭代训练就能直接算出来。但需要注意的是，实际工程中 sklearn 并不会真的用这个公式，而是用奇异值分解（SVD）来求解。原因是直接计算 XᵀX 的逆矩阵在特征维度较高或特征相关性较强时数值不稳定，SVD 的数值稳定性好得多。理解正规方程的意义在于明白线性回归的本质是一个凸优化问题，而不是真的手写矩阵求逆。

3.2 训练代码与关键参数

sklearn 的用法非常简单，但有几个参数值得说清楚：

from sklearn.linear_model import LinearRegression model = LinearRegression(fit_intercept=True) model.fit(X_train, y_train) print("特征系数：", dict(zip(feature_cols, model.coef_))) print("截距：", model.intercept_)

fit_intercept=True 表示模型自己学习一个偏置项。如果你的特征做过标准化，视觉上截距会接近训练集标签的均值；这里特征不标准化，截距也会被直接拟合出来。

看系数的作用更有意思。系数表示"在其他特征不变时，该特征每增加 1 个单位，预测值平均变化多少"。如果 lag7 的系数明显大于 lag1，说明模型认为"一周前同期水平"对当天的预测贡献更大，这符合疫情数据里存在周内节律的特征。如果 t 的系数是负的，说明模型整体学到的是下降趋势。

训练完成后不着急看测试集，先在训练集上画一条拟合曲线，确认模型没有在代码层面出问题。我训练完会立刻打印前几个样本的真实值和预测值，肉眼看一下量级是否一致。这一步花不了几秒钟，却能排查掉大量类似"单位不一致""特征顺序搞错"的低级bug。

4. 结果评估：用 RMSE、残差图判断模型到底行不行

4.1 回归预测的评估指标选哪个

不要只盯着一个指标看。我用三个指标一起评估，它们各自反映不同侧面：

代码就三行：

from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error, r2_score y_pred = model.predict(X_test) mae = mean_absolute_error(y_test, y_pred) rmse = mean_squared_error(y_test, y_pred, squared=False) r2 = r2_score(y_test, y_pred) print(f"MAE={mae:.2f}, RMSE={rmse:.2f}, R²={r2:.4f}")

经验上，如果 RMSE 比 MAE 大很多，说明模型在个别日子上出现了大偏差；如果两者接近，说明误差分布相对均匀。对我这份模拟数据，典型结果大致是 MAE 在 10 左右、RMSE 在 12 左右。这些数字要和原始数据的量级一起看：如果每日新增病例在 50-200 之间波动，MAE 是 10，说明平均每天偏差十几例，对趋势预测来说已经凑合；如果原始数据只有 30 例，MAE 是 10，那模型基本没什么用。

R² 在时间序列预测里要格外小心。当目标变量本身有明显上升趋势时，哪怕模型只是大概沿着趋势走，R² 也可能高达 0.9 以上。这并不代表预测精准，只是说明"跟着趋势走"已经赢过了"直接用均值预测"。所以我的习惯是：主要看 MAE 和 RMSE 的实际量级，R² 只做参考。

4.2 画预测曲线和残差图，比指标数字更诚实

指标是评估的骨架，可视化才是评估的血肉。至少画两张图：一张是测试集的真实曲线与预测曲线对比，另一张是残差图。

第一张图能直接看出模型在哪里飘了：

import matplotlib.pyplot as plt plt.figure(figsize=(10, 4)) plt.plot(test["date"], y_test.values, label="真实值") plt.plot(test["date"], y_pred, label="预测值") plt.legend() plt.xticks(rotation=45) plt.title("测试集上的线性回归预测") plt.tight_layout() plt.show()

第二张图更有诊断价值。把残差（y_true - y_pred）按时间顺序画出来，如果残差像白噪声一样在 0 上下随机波动，说明模型已经捕获了数据里最主要的模式；如果残差出现明显的周期性或趋势，说明数据里还有模型没学到的东西——通常是非线性关系。

residual = y_test.values - y_pred plt.figure(figsize=(10, 3)) plt.plot(test["date"], residual) plt.axhline(0, color="gray", linestyle="--") plt.xticks(rotation=45) plt.title("残差随时间变化") plt.tight_layout() plt.show()

我在真实数据上做这个练习时，残差图几乎总是一个形状：前期残差是正的或负的，后期变成相反的符号。这说明线性模型拟合的直线只是"穿越"了真实的曲线，在早期和后期都会系统性偏移。这就是模型在向你说："这里有一条弯曲的趋势，我这条直线装不下。"

5. 真实预测中避不开的坑：拐点、泄漏与误差累积

5.1 拐点问题：线性模型反应迟钝

疫情走势里最要命的是拐点。真实新增病例不会一直线性涨，干预措施生效后增速会放缓、到达峰值、然后回落。而线性模型只有一个全局斜率，它为了拟合整个历史窗口，会把上升期和回落期平均成一条较平缓的直线。结果就是：上升期它系统性低估，回落期它系统性高估，拐点附近简直是在"凭感觉瞎猜"。

这几乎是所有线性模型做疫情预测的通病。缓解办法只有一个：缩小训练窗口。不要拿全部 120 天去训练，而是只取最近 14 天或 21 天。模型不需要学会"整个历史的平均趋势"，它只需要学会"最近的走势方向"。在快速变化的数据里，近期窗口往往比长期窗口更有价值。缺点是窗口太短会导致样本太少，特征稍微多一点就容易过拟合，所以每加一个特征，就要权衡一次样本量是否扛得住。

5.2 特征泄漏：滚动均值的那个 shift(1)

第 2 章提过的滚动均值 shift(1) 在这里必须展开讲。下面两种写法看起来几乎一样，效果天差地别：

# 错误：滚动均值包含当天真实值 df["rolling7_bad"] = df["new_cases"].rolling(7).mean() # 正确：滚动均值只用当天之前的数据 df["rolling7_ok"] = df["new_cases"].shift(1).rolling(7).mean()

错误写法里，第 t 天的滚动均值实际是第 t-6 天到第 t 天的平均值，里面包含了模型要预测的当天真实值。训练时模型会学到"只要滚动均值很大，当天值就很大"这种近乎作弊的映射，测试集指标好看到飞起。但真正部署到未来预测时，未来日期的滚动均值只能用已有历史值计算，它不再包含"当天真实值"这一信息，预测能力立刻大幅缩水。

这就是标准的特征泄漏。不只是滚动均值，任何涉及"当前样本之后的信息"的特征都会造成这种假象。排查方法很简单：构造完每个特征后，检查"构造该特征时是否用到了当天的目标变量值"。如果用到了，就必须 shift。

5.3 多步预测的误差累积

很多教程做完单步预测就收工了：用前 N 天预测第 N+1 天，评估完结束。但实际需求往往是"预测未来 7 天""预测未来 14 天"。

多步预测时，如果第 N+1 天用真实历史值预测，第 N+2 天继续用真实历史值预测，这不叫多步预测，这叫多次单步预测，误差不会累积。真实的多步预测是：先用已知数据预测第 N+1 天，然后把第 N+1 天的预测值当作"已知数据"去预测第 N+2 天，如此滚动下去。这样每一步的误差都会传给下一步，几步之后预测值会逐渐漂移，离真实曲线越来越远。

我实测的体会是：线性回归滚动预测 3 步之内还在可控范围，超过 5 步基本只能看趋势方向，数值已经不值得细究。要缓解误差累积，有两条路：一是每隔几步重新用真实观测值校准一次，现实中就是"等新一天的数据出来就重新预测一遍"；二是直接为每个预测步数训练独立模型，比如专门训练一个"用过去 7 天预测未来第 7 天"的模型。后者样本利用率差一些，但能绕开滚动递推带来的漂移问题。

5.4 指标虚高与单日上报噪声

还有一个体验很微妙的坑：R² 虚高。在趋势明显的序列上，哪怕预测天天偏 20 例，R² 也可能显示 0.95。初学者容易因此误以为模型很好。解决方法是同时打印 MAE 和 RMSE，用"预测值和真实值平均差了多少例"来替代抽象的百分比解释力。

单日噪声也要特别注意。新增病例数据经常有上报积压、修正、节假日检测量骤降等影响，单日值可能比前后几天低一半或者高一半。这种尖峰对线性回归影响很大，因为平方误差会把异常值的权重放到极大。一个折中的做法是不要把预测目标直接定为"单日新增病例数"，而是定为"7 日均值"。7 日均值平滑了噪声，模型学起来更容易，预测曲线也更贴合公共卫生决策里真正关心的"趋势"概念。

6. 线性回归之外：多项式回归与更专业的模型

6.1 多项式回归：给直线加一点弯曲

当残差图显示明显的曲线趋势时，最自然的升级方向是多项式回归。思路是在特征矩阵里加入 t²、t³ 甚至更高次项，让模型拟合一条曲线而不是直线。sklearn 里直接用 PolynomialFeatures 完成特征扩展：

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures from sklearn.pipeline import make_pipeline poly_model = make_pipeline( PolynomialFeatures(degree=3, include_bias=False), LinearRegression() ) poly_model.fit(X_train[["t"]], y_train)

多项式回归能拟合出上升、峰值、回落的形态，在训练窗口内看起来比线性回归"聪明"很多。但代价有两个：一是模型可解释性变差，系数不再有"每单位 x 变化带来多少 y 变化"的直白含义；二是过拟合风险急剧升高，阶数越高，曲线在数据边界外就越放飞自我，一旦外推几个时间步，预测值可能以三次方的速度冲到完全离谱的数值。

我的建议是：多项式回归适用于"拟合历史趋势、做较短步数的外推"，阶数不要超过 3。如果阶数到 4、5 才能拟合好训练集，几乎可以肯定是在过拟合噪声，而不是在学真实趋势。

6.2 更接近真实传播过程的模型：SIR 与后续方向

如果目标是纯粹预测"每天新增多少例"，线性回归和多项式回归终究只是数学拟合工具，它们不懂传染病传播机制。更贴近问题本质的方法是 SIR/SEIR 这类仓室模型：把人群分为易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）、康复者（Recovered）等仓室，用常微分方程描述人群在这些状态之间的流转。SIR 模型的一个核心优势是它能自然刻画"感染人数上升导致易感人群减少、传播速度随之放缓"的过程，也就是拐点是从机制里内生出来的，而不是靠一条多项式曲线硬拗出来的。

对学习机器学习的同学来说，从线性回归走向 SIR 模型是一条很顺畅的进阶路径。你不需要马上学会解偏微分方程，只需要理解它的建模思想：把对"数字曲线"的拟合升级成对"传播机制"的建模。后续还可以尝试 Facebook Prophet 这类专门为时间序列设计的工具，或者 LSTM 这类深度模型。但说句实在话，我做了不少类似的数据实验后，最大的体会是：在拿到干净、可靠的数据之前，讨论模型优劣没有意义。模型再先进，也扛不住脏数据、延迟上报和变化的外部环境因素。

回到线性回归本身，它就像一把最朴素的尺子。尺子量不出人体温度，但任何人做测量之前都需要一把尺子来定标。我的习惯始终是：面对一份陌生的时序数据，第一件事永远是用线性回归快速建立基线，看它的误差模式，看残差图，再决定要不要上更复杂的工具。等哪天你的线性回归基线已经稳定复现了，再打开 Prophet 或者 LSTM，你会发现自己对数据的理解，比一上来就跑复杂模型的那批人要扎实得多。