【MAT1001】托马斯微积分期末复习提纲详解

微积分期末复习提纲详解

一、极限（Limit Review）

1. 定义

设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​的某个去心邻域内有定义，如果存在常数AAA，对于任意给定的正数ε\varepsilonε，总存在正数δ\deltaδ，使得当0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0​∣<δ时，有∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon∣f(x)−A∣<ε，则称AAA是函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x \to x_0x→x0​时的极限，记作：

lim⁡x→x0f(x)=A \lim_{x \to x_0} f(x) = Ax→x0​lim​f(x)=A

2. 极限的性质

• 唯一性：若极限存在，则极限值唯一。
• 局部有界性：若极限存在，则函数在某个去心邻域内有界。
• 局部保号性：若lim⁡x→x0f(x)=A>0\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0limx→x0​​f(x)=A>0，则存在某个去心邻域，使得在该邻域内f(x)>0f(x) > 0f(x)>0。
• 四则运算法则：设lim⁡f(x)=A\lim f(x) = Alimf(x)=A，lim⁡g(x)=B\lim g(x) = Blimg(x)=B，则：

lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B,lim⁡[f(x)⋅g(x)]=A⋅B,lim⁡f(x)g(x)=AB (B≠0) \lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B, \quad \lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B, \quad \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \ (B \neq 0)lim[f(x)±g(x)]=A±B,lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B,limg(x)f(x)​=BA​(B=0)

3. 求解技巧

（1）夹逼定理

如果g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x) \le h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim⁡g(x)=lim⁡h(x)=A\lim g(x) = \lim h(x) = Alimg(x)=limh(x)=A，则lim⁡f(x)=A\lim f(x) = Alimf(x)=A。

（2）有理化分子

常用于含有根式的极限，例如：

lim⁡x→01+x−1x=lim⁡x→0(1+x−1)(1+x+1)x(1+x+1)=lim⁡x→012=12 \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x→0lim​x1+x​−1​=x→0lim​x(1+x​+1)(1+x​−1)(1+x​+1)​=x→0lim​21​=21​

（3）洛必达法则

适用于00\frac{0}{0}00​或∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​型极限。若lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}limx→a​g(x)f(x)​满足条件，则：

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}x→alim​g(x)f(x)​=x→alim​g′(x)f′(x)​

（4）等价无穷小

当x→0x \to 0x→0时，常用等价无穷小替换（注意只能用于乘积因子）：

• sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x
• tan⁡x∼x\tan x \sim xtanx∼x
• arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x
• ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim xln(1+x)∼x
• ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼x
• 1−cos⁡x∼12x21 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^21−cosx∼21​x2

（5）指数型极限的对数求法

对于形如lim⁡f(x)g(x)\lim f(x)^{g(x)}limf(x)g(x)的未定式（如1∞1^\infty1∞、000^000、∞0\infty^0∞0），设y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)}y=f(x)g(x)，取对数：

ln⁡y=g(x)ln⁡f(x) \ln y = g(x) \ln f(x)lny=g(x)lnf(x)

先求lim⁡ln⁡y\lim \ln ylimlny，则原极限为elim⁡ln⁡ye^{\lim \ln y}elimlny。

（6）大O与小o记号

• f(x)=O(g(x))f(x) = O(g(x))f(x)=O(g(x))表示存在常数CCC，使得∣f(x)∣≤C∣g(x)∣|f(x)| \le C|g(x)|∣f(x)∣≤C∣g(x)∣在某个邻域内成立。
• f(x)=o(g(x))f(x) = o(g(x))f(x)=o(g(x))表示lim⁡f(x)g(x)=0\lim \frac{f(x)}{g(x)} = 0limg(x)f(x)​=0。

4. 例题

计算：

lim⁡x→0x−sin⁡xx3⋅xarcsin⁡x⋅xex−1 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \cdot \frac{x}{\arcsin x} \cdot \frac{x}{e^x - 1}x→0lim​x3x−sinx​⋅arcsinxx​⋅ex−1x​

解：利用等价无穷小，当x→0x \to 0x→0时，arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x，ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼x，所以后两项极限均为1。对第一项，使用洛必达法则或泰勒展开：

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→01−cos⁡x3x2=lim⁡x→0sin⁡x6x=16 \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}x→0lim​x3x−sinx​=x→0lim​3x21−cosx​=x→0lim​6xsinx​=61​

因此原极限为16\frac{1}{6}61​。

二、连续性（Continuity）

1. 定义

设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0​的某邻域内有定义，若lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)，则称f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​连续。

2. 复合函数连续性

若fff在x0x_0x0​连续，ggg在f(x0)f(x_0)f(x0​)连续，则复合函数g∘fg \circ fg∘f在x0x_0x0​连续。

3. 介值定理（IVT）

若fff在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，且f(a)≠f(b)f(a) \ne f(b)f(a)=f(b)，则对于任意介于f(a)f(a)f(a)和f(b)f(b)f(b)之间的数CCC，存在至少一点ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)使得f(ξ)=Cf(\xi) = Cf(ξ)=C。

4. 极值定理（EVT）

若fff在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续，则fff在[a,b][a,b][a,b]上必取得最大值和最小值。

5. 间断点类型

• 第一类间断点：左右极限都存在。若相等但不等于函数值（或函数值无定义）则为可去间断点；若不相等则为跳跃间断点。
• 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，如无穷间断点、振荡间断点。

6. 可积性

若fff在[a,b][a,b][a,b]上连续，则fff在[a,b][a,b][a,b]上可积。有界且只有有限个间断点的函数也可积。

三、导数（Derivatives）

1. 定义

函数y=f(x)y = f(x)y=f(x)在点x0x_0x0​处的导数定义为：

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0 f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​

若该极限存在，则称函数在x0x_0x0​可导。

2. 线性化

在点x0x_0x0​附近，用切线近似函数值：

L(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0) L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)L(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)

3. 中值定理（MVT）

若fff在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导，则存在至少一点ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)使得：

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}f′(ξ)=b−af(b)−f(a)​

4. 函数作图

利用导数分析函数性质：

• 一阶导数f′(x)f'(x)f′(x)：确定单调区间（f′(x)>0f'(x) > 0f′(x)>0递增，f′(x)<0f'(x) < 0f′(x)<0递减）和极值点（临界点处f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0或不存在）。
• 二阶导数f′′(x)f''(x)f′′(x)：确定凹凸性（f′′(x)>0f''(x) > 0f′′(x)>0凹向上，f′′(x)<0f''(x) < 0f′′(x)<0凹向下）和拐点。

5. 求导法则

• 四则运算：

(u±v)′=u′±v′,(uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2 (u \pm v)' = u' \pm v', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}(u±v)′=u′±v′,(uv)′=u′v+uv′,(vu​)′=v2u′v−uv′​

• 链式法则：

ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x) \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)dxd​f(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)

6. 牛顿法

用于求方程f(x)=0f(x) = 0f(x)=0的近似解，迭代公式：

xn+1=xn−f(xn)f′(xn) x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​

7. 反函数求导

若y=f(x)y = f(x)y=f(x)可逆且f′(x)≠0f'(x) \ne 0f′(x)=0，则反函数x=f−1(y)x = f^{-1}(y)x=f−1(y)的导数为：

dxdy=1f′(x)=1f′(f−1(y)) \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}dydx​=f′(x)1​=f′(f−1(y))1​

8. 隐函数求导

对由方程F(x,y)=0F(x,y) = 0F(x,y)=0确定的隐函数，两边对xxx求导，然后解出dydx\frac{dy}{dx}dxdy​。例如，对x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1求导得2x+2ydydx=02x + 2y \frac{dy}{dx} = 02x+2ydxdy​=0，所以dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}dxdy​=−yx​。

9. 对数求导法

对形如y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)}y=f(x)g(x)或连乘除的函数，先取对数：ln⁡y=ln⁡f(x)\ln y = \ln f(x)lny=lnf(x)或ln⁡y=g(x)ln⁡f(x)\ln y = g(x) \ln f(x)lny=g(x)lnf(x)，然后两边对xxx求导，解出y′y'y′。

四、原函数与不定积分（Anti-derivatives）

1. 三角函数积分

基本积分公式：

• ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
• ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C∫cosxdx=sinx+C
• ∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C∫sec2xdx=tanx+C
• ∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C∫csc2xdx=−cotx+C
• ∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C∫secxtanxdx=secx+C
• ∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C∫cscxcotxdx=−cscx+C

2. 换元法

• 第一类换元（凑微分）：∫f(φ(x))φ′(x) dx=∫f(u) du\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du，其中u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x)。
• 第二类换元：常用于根式积分，例如：
  • a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}a2−x2​，令x=asin⁡tx = a \sin tx=asint
  • a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}a2+x2​，令x=atan⁡tx = a \tan tx=atant
  • x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x2−a2​，令x=asec⁡tx = a \sec tx=asect

3. 有理函数积分

将有理函数分解为部分分式之和，然后逐项积分。例如：

∫P(x)Q(x) dx \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx∫Q(x)P(x)​dx

其中P(x)P(x)P(x)、Q(x)Q(x)Q(x)为多项式，若deg⁡P<deg⁡Q\deg P < \deg QdegP<degQ，可进行部分分式分解。

4. 分部积分法

公式：

∫u dv=uv−∫v du \int u \, dv = uv - \int v \, du∫udv=uv−∫vdu

选择uuu的顺序可参考“反对幂指三”（反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数），通常将优先级高的选为uuu。

五、定积分（Definite Integral）

1. 定义

黎曼和：设函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上有定义，将区间任意分割，取样本点，和式极限：

∫abf(x) dx=lim⁡max⁡Δxi→0∑i=1nf(ξi)Δxi \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i∫ab​f(x)dx=maxΔxi​→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​

2. 微积分基本定理（FTC）

• 第一部分：若fff在[a,b][a,b][a,b]上连续，则函数F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t) \, dtF(x)=∫ax​f(t)dt在[a,b][a,b][a,b]上可导，且F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)。
• 第二部分：若FFF是fff的一个原函数，则：

∫abf(x) dx=F(b)−F(a) \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

3. 换元法

与不定积分类似，但需注意换限。设x=φ(t)x = \varphi(t)x=φ(t)，则：

∫abf(x) dx=∫φ−1(a)φ−1(b)f(φ(t))φ′(t) dt \int_a^b f(x) \, dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt∫ab​f(x)dx=∫φ−1(a)φ−1(b)​f(φ(t))φ′(t)dt

4. 分部积分法

∫abu dv=[uv]ab−∫abv du \int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du∫ab​udv=[uv]ab​−∫ab​vdu

5. 面积与体积

• 平面图形面积：由曲线y=f(x)y = f(x)y=f(x)、y=g(x)y = g(x)y=g(x)和直线x=ax = ax=a、x=bx = bx=b围成，面积为：

A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dxA=∫ab​∣f(x)−g(x)∣dx

• 旋转体体积：
  • 绕 x 轴旋转：V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dxV=π∫ab​[f(x)]2dx
  • 绕 y 轴旋转（柱壳法）：V=2π∫abxf(x) dxV = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dxV=2π∫ab​xf(x)dx

6. 弧长

曲线y=f(x)y = f(x)y=f(x)，a≤x≤ba \le x \le ba≤x≤b的弧长为：

L=∫ab1+[f′(x)]2 dx L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dxL=∫ab​1+[f′(x)]2​dx

7. 数值积分

• 梯形法：∫abf(x) dx≈b−a2n[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2n} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right]∫ab​f(x)dx≈2nb−a​[f(x0​)+2∑i=1n−1​f(xi​)+f(xn​)]
• 辛普森法：∫abf(x) dx≈b−a6n[f(x0)+4∑i=1nf(x2i−1)+2∑i=1n−1f(x2i)+f(x2n)]\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6n} \left[ f(x_0) + 4\sum_{i=1}^{n} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{2i}) + f(x_{2n}) \right]∫ab​f(x)dx≈6nb−a​[f(x0​)+4∑i=1n​f(x2i−1​)+2∑i=1n−1​f(x2i​)+f(x2n​)]

8. 反常积分

（1）无穷区间

∫a+∞f(x) dx=lim⁡t→+∞∫atf(x) dx \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) \, dx∫a+∞​f(x)dx=t→+∞lim​∫at​f(x)dx

（2）无界函数

若fff在aaa点无界，则：

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) \, dx∫ab​f(x)dx=t→a+lim​∫tb​f(x)dx

（3）p-判别法

• ∫1+∞1xp dx\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx∫1+∞​xp1​dx收敛当且仅当p>1p > 1p>1
• ∫011xp dx\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx∫01​xp1​dx收敛当且仅当p<1p < 1p<1

（4）比较判别法

若0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x)0≤f(x)≤g(x)在[a,+∞)[a, +\infty)[a,+∞)上，则：

• 若∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty} g(x) \, dx∫a+∞​g(x)dx收敛，则∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty} f(x) \, dx∫a+∞​f(x)dx收敛
• 若∫a+∞f(x) dx\int_a^{+\infty} f(x) \, dx∫a+∞​f(x)dx发散，则∫a+∞g(x) dx\int_a^{+\infty} g(x) \, dx∫a+∞​g(x)dx发散

六、常微分方程（ODE）

1. 斜率场

给定微分方程dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx} = f(x,y)dxdy​=f(x,y)，在平面区域上每一点(x,y)(x,y)(x,y)画出斜率为f(x,y)f(x,y)f(x,y)的短线段，形成斜率场。解曲线（积分曲线）在每点处与斜率场的线段相切。

2. 可分离变量方程

形如dydx=g(x)h(y)\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)dxdy​=g(x)h(y)，分离变量：

dyh(y)=g(x) dx \frac{dy}{h(y)} = g(x) \, dxh(y)dy​=g(x)dx

两边积分求解。

3. 线性微分方程

一阶线性方程：dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)dxdy​+P(x)y=Q(x)，通解公式：

y=e−∫P(x) dx(∫Q(x)e∫P(x) dx dx+C) y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right)y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)

4. 自治方程与相线分析

自治方程：dydt=f(y)\frac{dy}{dt} = f(y)dtdy​=f(y)，不显含自变量ttt。相线分析步骤：

1. 求平衡点（f(y)=0f(y) = 0f(y)=0的根）
2. 判断稳定性：若f′(y0)<0f'(y_0) < 0f′(y0​)<0，则平衡点稳定；若f′(y0)>0f'(y_0) > 0f′(y0​)>0，则不稳定

5. 数学模型

• 指数增长/衰减：dydt=ky\frac{dy}{dt} = kydtdy​=ky，解为y=y0ekty = y_0 e^{kt}y=y0​ekt
• Logistic 模型：dydt=ry(1−yK)\frac{dy}{dt} = ry \left(1 - \frac{y}{K}\right)dtdy​=ry(1−Ky​)，描述有限资源下的增长
• 牛顿冷却定律：dTdt=k(T−Tenv)\frac{dT}{dt} = k(T - T_{\text{env}})dtdT​=k(T−Tenv​)，物体温度随时间变化