《九章算术》方程章直除法：两千年前的高斯消元法

《九章算术》里的“方程”，并不是你初中课本上那个含有x的等式。它是中国古人用算筹解线性方程组的一整套完整算法，放在今天看，就是高斯消元法的老祖宗。这篇文章要解决一个很具体的问题：当你翻开“方程章”，看到那些被后人反复引用的原文时，它到底让你在算筹上做什么动作？这些动作又是怎样一步步算出最终答案的？

我会先用现代语言把原文翻译成你能动手操作的步骤，再用一道真实例题从头算到尾，顺带解释几个特别容易读错的细节。不管你是对数学史感兴趣的读者，还是想给学生讲点课本外知识的人，这份拆解应该都能直接上手用。

1. 九章算术里的“方程”，和我们想的不是一回事

1.1 “方”是排成方阵，“程”是按规程计算

先说点基础概念。“方程”两个字，在今天已经被定义为“含有未知数的等式”，但在《九章算术》里，它指的不是一个等式，而是整整齐齐排成方阵的一组数据。书里的原话是刘徽在注《九章算术》时写的：

程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。

翻译成大白话是：把不同的物品分列成几行，每一行记录它的数量和总数，有几种物品就排几行，像方阵一样列出来，所以叫“方程”。“方”就是方阵，“程”就是按规范算。换句话说，它更像我们今天线性代数里的增广矩阵，而不是单独一条等式。

这一点很关键。因为古人不设未知数、不写符号，他们处理“方程组”的方式，就是把系数和常数项像表格一样摆在地上，然后对整行数据做操作。你如果不理解“方阵”这个视角，光看原文很容易一头雾水。

1.2 它不是“解一个x”，而是“解整个系统”

现代中学生学的方程，核心动作是移项、合并同类项、两边同乘同除，盯住一个未知数来回折腾。而《九章算术》的“方程”，一次要处理多个未知数，而且它们的地位是并列的：上禾、中禾、下禾，牛羊猪，米麦豆……每种物品占一列，总数占一列，数据按某种对应关系摆好。

打个比方：如果你面前有一堆账目，记录了三种粮食合计多少斗、每种粮食与其他两种配比各是什么比例，你要做的事情不是盯着某一个数硬猜，而是把这堆账目当成一个整体，反复做“整行加减”，让某一行里只留下一个未知数。这个思路跟现代解线性方程组的“消元法”是同一件事，只是古人用算筹代替了纸笔，用“减”代替了符号变换。

1.3 古人为什么会用到方程组

现代人看到鸡兔同笼都会感叹古代数学好玩，但《九章算术》里出现方程组，绝对不是为了趣味题和脑筋急转弯。从同时代的历史文献看，这些题直接对应现实中的分配、赋税、物价、粮食折算问题。

比如原书里大量题目涉及“出钱买物”“谷物兑换”“禾田产量”。多种物品的数量、单位价格、总值交织在一起，不列方程组根本算不干净。用现代术语说，九章算术的“方程章”解决的就是“有限数据下的线性关系推断”。它是最早被系统化、程序化的算法，比欧洲同类成果早了上千年。

2. 看不懂原文不要紧：先看算筹怎么把方程“摆”出来

2.1 算筹计数法：一张“口袋里的表格”

《九章算术》成书的年代没有纸笔计算，也没有小数和负号。古人用一把小棍子——算筹——在地上或木板上来回摆。摆法很简单：个位、十位、百位……从右往左，哪一位有数就摆几根，空位就空着不摆。

这里有个特别容易忽略的点：当时已经有了用红黑算筹区分正负数的方法，正数用红筹，负数用黑筹，这在位值制记数法里是很超前的。换句话说，古代筹算家和今天用Excel记账没什么本质区别。你看到的那一堆小棍，就是一张活生生的“表格”。

2.2 原题：上禾、中禾、下禾的“三元一次方程组”

我们直接拿方程章第一题来演示。这道题在《九章算术》里的原文是：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

现代人一眼就能看出来，这就是一个三元一次方程组。设三种禾每秉的产量分别是 x、y、z，则题目等价于：

3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26

有意思的是，古人完全不需要写xyz，他们只在筹算盘上摆三行数字，把一次方程组的系数矩阵和常数项排成下图这个样子：

每一行对应一个“方程”，每列对应一种禾的系数。请注意，这里的“行”是按竖排说的，右行就是右边那一列，中行是中间那一列，左行是左边那一列。理解了这组排列，后面的消元操作就非常好懂了。

2.3 从原文到现代矩阵

很多第一次读九章原文的人会卡在这个地方：“以右行上禾遍乘中行”“以直除”……这些字根本没提到数字，也没有等于号。实际上，你只要把原文翻译成“对方程组做初等变换”就全通了。

“以右行上禾三遍乘中行”，意思是把中间这一行的所有数都乘以3；“直除”的意思是连续相减，把中间这一行的头一个系数减成0。这和高斯消元法里的“某行乘以倍数，再与另一行相减”完全相同。后面我们会全程用现代演算手把手演示，你马上就会发现，古人和现代人的算法其实只差了一个等号和几个字母。

3. 直除法实操：三步消元，手把手算一遍

3.1 直除法的核心逻辑

“直除法”的名字有点吓人，本质却朴素得不得了。你看三行数据都在那摆着，目标很明确：把上禾系数变成第一行有、第二行第三行没有；再把中禾的系数变成第二行有、第三行没有；最后只剩第三行有下禾，于是下禾的数量直接就能读出来——这就是从“多未知数”一步步“消元”的过程。

生活化类比：想象你面前有三个配方，要配出三种不同比例的混合物。你不想一个个猜，而是先想办法让某一种成分在另外两个配方里消失，剩下只含另一种成分的“纯净配方”，再倒推回去。古人用算筹做的，就是这套“消去法”，只不过每一步都是整行整行地乘、整行整行地减。

3.2 第一步：用右行上禾系数把中行、左行的上禾消成0

把上一节的矩阵再抄一遍：

右行：3 2 1 | 39
中行：2 3 1 | 34
左行：1 2 3 | 26

先处理中行。右行的上禾系数是3，中行的上禾系数是2。要让中行的上禾变成0，常规办法是“两个行都调整到上禾系数相同，再相减”。古人选了一个整数倍数：把中行整体乘以3，得到：

中行：6 9 3 | 102

然后从中行里减去右行的2倍。右行的2倍是：

6 4 2 | 78

两行相减：

中行：0 5 1 | 24

这样中行的上禾系数就被消掉了。同一个道理处理左行：把左行整体乘以3，得到左行：3 6 9 | 78，再减去右行的1倍，即3 2 1 | 39，得到：

左行：0 4 8 | 39

第一轮做完，矩阵变成：

右行：3 2 1 | 39
中行：0 5 1 | 24
左行：0 4 8 | 39

到这一步，整个问题的维度已经降了一档：我们只剩下两个含两个未知数的方程了。

这里要提醒一句：乘3和减去右行的倍数，并不是随手选的。乘以3是为了让中行上禾系数变成6，和右行上禾系数3的倍数对齐；减右行的2倍也正是因为6÷3=2。用刘徽的话说，这叫“齐同”：先让两组数的相应位置“齐”起来，再相减，“同”出结果。这个“齐同原理”贯穿了《九章算术》的很多算法。

3.3 第二步：用中行的中禾系数把左行的中禾消成0

现在只用看两行数据：

中行：0 5 1 | 24
左行：0 4 8 | 39

中行的中禾系数是5，左行的中禾系数是4。想让左行的中禾变成0，就把左行整体乘以5，中行作为基准，左行变成：

0 20 40 | 195

再减去中行的4倍（因为20÷5=4）。中行的4倍是：

0 20 4 | 96

相减后：

左行：0 0 36 | 99

第二轮做完，矩阵变成：

右行：3 2 1 | 39
中行：0 5 1 | 24
左行：0 0 36 | 99

你看，第三行现在只剩一个未知数“下禾”了，这跟高斯消元法最后得到的“阶梯形矩阵”一模一样。现代人把这个过程叫“化上三角”，古人叫“如方程”，本质完全一致。

3.4 第三步：从下往上回代，求出三种禾

左行现在写出来就是 36×下禾 = 99，所以下禾一秉等于 99/36，约分一下得到 11/4，也就是 2又3/4斗。写成原书里的答案，叫“下禾一秉二斗四分斗之三”。

接着回代到中行。中行是 5×中禾 + 1×下禾 = 24，下禾已经知道是 11/4，于是：

5×中禾 + 11/4 = 24
5×中禾 = 96/4 - 11/4 = 85/4
中禾 = 85/20 = 17/4

也就是“中禾一秉四斗四分斗之一”。

最后把中禾、下禾的值代回右行。右行是 3×上禾 + 2×中禾 + 1×下禾 = 39：

3×上禾 = 39 - 2×(17/4) - 11/4
= 156/4 - 34/4 - 11/4
= 111/4
上禾 = 111/12 = 37/4

也就是“上禾一秉九斗四分斗之一”。

到这里，整道题的答案就出来了。和你用现代方法解三元一次方程组得到的结果一模一样。合上书再看一遍原文里那句“上禾一秉九斗四分斗之一”，你大概就能想象出汉代算家是如何在一堆小棍中间拨来拨去，最终读出答案的了。

4. 直除法与现代高斯消元法的对照与思考

4.1 两百年前的高斯，用的还是同一套思路

高斯消元法是19世纪由高斯系统化的解线性方程组方法，如今在世界各地的线性代数课本里都是第一章内容。它的标准流程是：把增广矩阵写成阶梯形，然后回代求未知数。这跟《九章算术》的直除法几乎没有区别。

做一个直观对照：

所以你可以说，高斯消元法的成熟形式在两千年前的《九章算术》里就已经出现了。这并不是后世谁抄袭谁，而是线性方程组的数量关系决定了最有效的解题策略只有这一条路：逐列消元，回代求解。

4.2 古代算法里几个“超前”的设计

直除法里最让人惊讶的还不是消元思路本身，而是配套的细节设计。

第一个是“遍乘”操作。今天做高斯消元时，最烦的就是分数系数。古人为了避免马上出现分数，先让整行乘以一个整数“齐”一下，再做减法，这样只要有可能就能保持在整数范围内运算。这不是数学上的侥幸，而是为了适应筹算：算筹摆整数方便，摆分数麻烦，所以算法在设计上天然偏好整数路径。这种“尽量减少分数出现”的思路，在现代数值分析中仍然是最朴素的稳定性原则。

第二个是“直除”本身。古人用“减”来代替“除”，让运算落地成连续相减的机械动作。这种可重复、可机械化的操作，正是“算法”的本义。今天计算机里的高斯消元程序，本质上也是一遍遍重复“乘倍数、做减法”。你从九章算术里看到的不是一堆孤立技巧，而是一套程序化的指令序列。

4.3 用现代线性代数语言重看这道题

用今天的语言来总结前面那道题，作者在开篇其实已经做了：

3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26

系数矩阵是：

增广矩阵就是上一节我们摆出的方阵。对它做初等行变换后变成上三角形式，然后回代。全套流程放回九章“方程章”，名称从“矩阵”变成“方程”，从“行变换”变成“遍乘直除”，但数学内核没有任何变化。

这种“翻译”不是牵强附会。刘徽在注释里明确描述了“令每行为率”“总言其实”，这就是增广矩阵的定义。古人没有把“行”抽象成向量，但已经按向量的方式去操作它了。所以每当有人问“中国古代到底有没有线性代数思想”时，回答是：不仅有，而且已经做出了完整的算法示范。

5. 常见疑问与历史细节避坑指南

5.1 “直除”的“除”到底是除还是减

这是读九章第一眼最容易误会的地方。现代汉语里“除”是除法，可在古汉语里“除”有“去除、减去”的含义，比如“除旧迎新”里的除就是“去掉”的意思。“直除”的意思是直接相减，反反复复地减，直到减尽或者够减为止。刘徽在注释里说“直除”是“以少减多，更相减损”，已经解释得非常清楚。

这个细节会影响你怎么理解整个算法。你如果以为是做除法，会觉得每一步都很绕；一旦明白它是连续的减法，整道题的逻辑就顺了。古人之所以用减法而不是除法，实际也是为了迁就算筹的操作习惯——算筹可以直接做累减，但做商除就需要更复杂的步骤。

5.2 负数的出现：算筹上怎么处理“不够减”

既然直除法一直在做减法，必然会出现“减少了”的局面。古典数学遇到这种情况会卡壳，但《九章算术》的方程章走得更远，它专门记录了一节“正负术”，给出正负数加减的运算法则。这是世界数学史上对负数运算规则最早的系统描述之一。

具体操作上，古人在使用算筹时会拿红、黑两种颜色的筹来区分正负：红筹表示正数，黑筹表示负数。加减时同色相加、异色相减，这跟现代代数的符号法则是一致的。你在原书里看到“同名相除，异名相益”之类的话，翻译过来就是在讲正负数的运算法则。正因如此，直除法在消元过程中即使产生了负数，也能继续算下去，不会因为“减不动”而中断，这是算法完整性的一大保证。

5.3 方程章的数学“辐射范围”到底有多大

《九章算术》成书后，成为中国古代数学最重要的经典之一，历代数学家都对其做过注释和推广。刘徽的注解在三国时期完成，贾宪、杨辉、秦九韶等后来的数学家都在此基础上继续推进。书里的“方程”技术，本质上奠定了中国传统的“多元一次方程组解法”的基石。

这套算法对世界数学史的贡献同样不可忽略。当线性方程组的系统解法后来在欧洲独立发展起来时，数学史研究者追溯到的最早完备算法形式，就是《九章算术》里的直除法。今天在大学线性代数课上学的“高斯消元法”，其实可以看作“直除法”在新的符号体系里的化身。了解这段历史，再看增广矩阵和初等行变换，会多一层“原来我在做古人也做过的事情”的亲切感。

最后再分享一个比较个人化的体会。我最初读“方程章”时，总觉得那些“遍乘”“直除”“正负”的用词生硬难懂，直到自己用小纸片代替算筹，把上面那道题完整摆了三轮，才突然理解为什么古人管它叫“方程”——数据一排排列在面前，每次操作都是在调整整个方阵的平衡，就像整理一个多维天平。从那天起，再看现代代码里的“矩阵消元循环”，我总觉得内核里站着一个拿着红色和黑色小棍的中国古人。建议你也找几十根牙签或者干脆用纸笔，按本文第3节亲手算一遍，这种“手算+对照原文”的体验，比单纯读十遍注释都管用。