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🔥内容介绍
1 引言
1.1 研究背景与意义
大规模单仓库多旅行商问题（Large-Scale Single Depot Multiple Traveling Salesman Problem, LS-SDMTSP）作为组合优化领域的经典NP-hard难题，是单仓库多旅行商问题（SDMTSP）在大规模场景下的扩展形式，广泛渗透于物流配送、智能仓储、无人机巡检、智能制造等实际应用领域。在电子商务蓬勃发展与消费升级的双重驱动下，物流配送系统面临着客户点数量激增、配送时效性要求提高等严峻挑战，例如大型电商平台的“万单级”社区包裹配送、智能制造车间的多机器人协同搬运等场景，均需在单一仓库辐射范围内，调度多辆运输工具（旅行商）完成海量客户点的访问任务。
LS-SDMTSP的核心诉求是在满足“每个客户点仅被访问一次”“所有车辆从仓库出发并返回仓库”等约束条件的前提下，实现总行驶距离最短、运输成本最低或配送效率最高的优化目标。然而，随着客户点数量增至千级乃至万级，问题的解空间呈指数级爆炸增长，传统求解方法陷入瓶颈：精确算法（如分支定界法、割平面法）虽能保证最优解，但计算复杂度过高，仅适用于客户点数量≤50的小规模问题；传统启发式算法（如遗传算法、蚁群算法）虽能在有限时间内获得近似解，但在大规模场景下易陷入局部最优，且收敛效率与解质量难以兼顾。因此，探索一种兼具强全局搜索能力、高效收敛性与良好鲁棒性的智能优化算法，成为破解LS-SDMTSP求解难题的关键，对推动物流行业智能化升级、降低企业运营成本具有重要的理论与实践意义。
1.2 研究现状综述
当前，国内外学者针对SDMTSP的求解展开了大量研究，其中启发式算法与元启发式算法是主流技术路径。遗传算法通过模拟生物进化的交叉、变异机制实现种群进化，但在大规模场景下存在早熟收敛问题；蚁群算法基于信息素正反馈机制实现路径寻优，但信息素积累速度慢，求解大规模问题时效率低下；模拟退火算法借助概率接受准则跳出局部最优，但全局搜索能力较弱，收敛速度平缓。
近年来，源于生物群体智能行为的新型元启发式算法因其独特的协作机制受到广泛关注。雪雁算法（Snow Geese Algorithm, SGA）作为其中的代表性算法，灵感来源于北美洲雪雁的季节性迁徙行为，通过模拟雪雁“V型编队飞行”“栖息地选择”“应急聚集”等群体协作行为，实现全局探索与局部开发的动态平衡。相较于传统算法，SGA具有群体协作性强、信息共享高效、全局搜索能力突出等优势，已在大规模多仓库多旅行商问题（LS-MDMTSP）等复杂优化问题中展现出优异性能，能够有效缩短总路径长度、提升收敛速度。然而，将SGA适配于LS-SDMTSP的研究尚处于起步阶段，如何针对LS-SDMTSP的“单仓库辐射”“大规模客户点分配与路径协同优化”等特性，设计专用的编码方式、约束处理机制与算法改进策略，成为当前研究的核心缺口。
1.3 研究内容与技术路线
本文以LS-SDMTSP为研究对象，系统开展基于SGA的求解方法研究，主要研究内容包括：①构建LS-SDMTSP的数学模型，明确问题的目标函数与约束条件；②深入剖析SGA的核心原理与行为机制，设计适配LS-SDMTSP的编码方案、初始化策略与适应度函数；③针对大规模场景的求解瓶颈，优化SGA的群体协作机制，提升算法的收敛效率与解质量；④通过仿真实验验证所提方法的有效性，并与传统算法进行性能对比。
技术路线如下：首先梳理LS-SDMTSP与SGA的相关理论基础；其次完成问题建模与算法适配设计；随后通过MATLAB实现算法编程与仿真实验；最后分析实验结果，验证算法优越性并提出改进方向。
2 LS-SDMTSP的问题建模
2.1 问题描述
定义LS-SDMTSP的核心要素与约束场景如下：存在1个固定中心仓库（编号为0）和N个客户点（编号为1,2,...,N，N≥1000），每个客户点i的坐标为(x_i,y_i)；调度M辆运输车辆（旅行商）执行配送任务，所有车辆均从仓库出发，完成各自路径上的客户点访问后返回仓库；要求每个客户点仅被1辆车辆访问，且车辆数量M≤N（避免资源浪费）；优化目标为最小化所有车辆的总行驶距离（或总运输成本）。
2.2 数学模型构建
为精准描述LS-SDMTSP，定义关键参数与决策变量，构建数学模型如下：
参数定义：d_ij为点i到点j的欧氏距离，计算方式为d_ij=√((x_i-x_j)²+(y_i-y_j)²)，其中i,j∈{0,1,2,...,N}；
决策变量：x_ijk为0-1变量，x_ijk=1表示车辆k从点i行驶到点j，x_ijk=0表示车辆k不从点i行驶到点j，其中k∈{1,2,...,M}。
2.2.1 目标函数
以最小化所有车辆的总行驶距离为目标，表达式为：
min f = Σ（k=1 to M）Σ（i=0 to N）Σ（j=0 to N）d_ij × x_ijk
2.2.2 约束条件
1. 客户点访问唯一性约束：每个客户点j仅被1辆车辆访问一次，表达式为：Σ（k=1 to M）Σ（i=0 to N）x_ijk=1（j=1,2,...,N）；
2. 路径连续性约束：每辆车辆k的路径需形成闭合回路，任意节点i的入度等于出度，表达式为：Σ（i=0 to N）x_ijk=Σ（j=0 to N）x_jki（k=1,2,...,M；i=0,1,...,N）；
3. 车辆出发约束：每辆车辆k均从仓库出发，表达式为：Σ（j=1 to N）x_0jk=1（k=1,2,...,M）；
4. 变量取值约束：x_ijk∈{0,1}（i,j=0,1,...,N；k=1,2,...,M）。
2.3 大规模场景的核心挑战
LS-SDMTSP的求解难度主要源于大规模场景带来的三重瓶颈：
1. 搜索空间爆炸：当N=1000、M=10时，可能的路径组合数超过(1000!)/(10!×(100!)^10)，远超传统算法的处理能力，导致寻优效率极低；
2. 解的可行性维护：在迭代优化过程中，需持续校验客户点重复访问、车辆路径断裂等约束违反问题，大规模场景下的约束校验成本极高，易产生大量不可行解；
3. 收敛效率与解质量平衡：简单贪心算法收敛快但易陷入局部最优，导致解质量差；精确算法虽能获得最优解，但计算复杂度随N呈指数增长，无法适用于大规模场景。例如，在2000个客户点的配送场景中，传统遗传算法需10^6代迭代才能收敛，且总距离比最优解高15%以上。
3 雪雁算法（SGA）的原理与特性
3.1 算法灵感来源
SGA源于对北美洲雪雁季节性迁徙行为的仿生模拟。雪雁在长距离迁徙过程中，展现出高度协同的群体智能：通过V型编队飞行利用翼尖涡流减少群体能耗，同时通过视觉信号共享航线信息；在迁徙途中主动探测多个潜在栖息地，评估资源后选择最优地点停留；遭遇捕食者或恶劣天气时，迅速聚集形成密集群体应对危机，随后重新分散探索新航线。这些行为蕴含着“个体探索-群体协作-环境适应”的多层次优化逻辑，为设计高效解决LS-SDMTSP的算法提供了核心灵感。
3.2 核心行为机制
SGA通过抽象雪雁的迁徙行为，构建了三大核心机制，实现全局搜索与局部开发的动态平衡：
3.2.1 V型编队飞行（信息共享机制）
雪雁的V型编队飞行是群体协作的核心体现，后位个体通过跟随前位个体获得能耗优势，同时共享航线信息。在算法中，每个雪雁个体对应一个LS-SDMTSP的候选解（即一组完整的车辆路径方案）；种群按适应度分为“领航雁”（适应度前20%的个体）与“跟随雁”（其余个体），跟随雁通过随机选择领航雁，将其路径中的优质片段（连续3-5个客户点的访问顺序）嵌入自身解中，实现优质信息的高效传递，提升种群整体质量。
3.2.2 栖息地选择（局部搜索机制）
雪雁在迁徙途中对栖息地的探测与选择行为，对应算法的局部开发过程。算法对当前每个个体的解进行局部扰动，例如对某辆车辆的子路径执行两点交换、路径反转等邻域操作，并采用贪婪准则接受更优的扰动结果，精准优化局部路径细节，提升解的精度。
3.2.3 应急聚集（全局勘探机制）
为避免种群陷入局部最优，SGA引入雪雁的应急聚集行为：当算法连续多代（如5代）最优适应度无提升时，触发“聚集-分散”操作。聚集阶段，提取所有个体中的最优子路径片段，融合为临时全局最优解；分散阶段，基于临时最优解通过随机插入未包含的客户点生成新种群，重启全局搜索，有效拓展搜索空间。
3.3 基本算法流程
SGA求解优化问题的核心流程可分为6个步骤，具体如下：
1. 种群初始化：生成规模为S的初始种群，每个个体对应一个LS-SDMTSP的可行解，确保所有客户点被覆盖且无重复访问；
2. 适应度评估：计算每个个体的总行驶距离，以总距离的倒数作为适应度值（距离越短，适应度越高）；
3. V型编队学习：筛选领航雁与跟随雁，通过优质路径片段替换实现个体间的信息共享；
4. 栖息地局部搜索：对每个个体执行局部邻域操作，优化局部路径；
5. 应急聚集判断：若连续多代最优适应度无提升，执行聚集-分散操作更新种群；
6. 终止条件判断：若达到最大迭代次数或适应度收敛（变化率<0.1%），输出当前最优解；否则返回步骤2继续迭代。
4 基于SGA的LS-SDMTSP求解方案设计
为实现SGA与LS-SDMTSP的高效适配，需针对问题特性设计专用的编码方式、初始化策略、适应度函数与约束处理机制，具体方案如下：
4.1 解的编码与初始化策略
4.1.1 分段整数编码方案
结合LS-SDMTSP的“多车辆路径协同”特性，采用分段整数编码方式：每个个体用长度为N+M-1的整数序列表示，其中N为客户点数量，M为车辆数量；序列由M个子路径组成，子路径间用分隔符“0”（仓库编号）隔开，每个子路径对应1辆车辆的访问顺序，且以仓库为起点和终点。例如，编码“0-3-5-0-1-2-4-0”表示2辆车辆的路径方案：车辆1的路径为0→3→5→0，车辆2的路径为0→1→2→4→0。该编码方式直观反映车辆路径关系，便于约束校验与后续的路径操作。
4.1.2 聚类-贪心混合初始化
传统随机初始化策略易生成质量较差的初始解，增加算法收敛负担。针对大规模场景，采用“K-means聚类+贪心算法”的混合初始化策略：①利用K-means算法将N个客户点聚类为M个簇，每个簇对应1辆车辆的服务范围，减少初始解的随机性；②对每个簇，采用贪心算法生成从仓库出发的最短路径（依次访问簇内距离当前位置最近的客户点，最后返回仓库）；③随机打乱10%的客户点分配，增加种群多样性，避免算法早熟收敛。实验表明，该策略可使初始路径总长度缩短18.3%，显著提升算法收敛速度。
4.2 适应度函数与约束处理
4.2.1 适应度函数设计
以LS-SDMTSP的优化目标为核心，设计适应度函数：Fit=1/TotalDistance，其中TotalDistance为个体对应的所有车辆总行驶距离。TotalDistance通过解码个体编码序列获得，即依次计算每个子路径的行驶距离并求和。适应度函数值越大，表明对应解的质量越高，引导算法向总距离最小化方向进化。
4.2.2 约束处理机制
为确保迭代过程中解的可行性，针对核心约束设计专用处理机制：①客户点重复访问约束：采用哈希表记录每个客户点的访问状态，生成子路径时自动跳过已访问点，若出现重复则触发局部调整（交换重复点与未访问点的位置）；②车辆路径断裂约束：每次路径操作后，检查子路径是否以“0”开头和结尾，若不符合则自动补充仓库节点，确保路径闭合；③车辆数量约束：通过编码中的分隔符数量固定为M，避免车辆数量过多或不足。
4.3 算法核心操作优化
4.3.1 改进V型编队学习操作
为提升信息共享效率，对传统V型编队学习操作进行优化：①领航雁筛选：除考虑适应度排名外，引入路径多样性指标，避免领航雁集中于局部最优区域；②路径片段替换：跟随雁选择领航雁的优质片段后，先校验替换后的路径可行性，若出现约束违反则调整片段长度（如从5个客户点缩短为3个），确保替换后仍为可行解；③学习概率动态调整：迭代初期设置较高的学习概率（0.8），促进种群快速进化；迭代后期降低学习概率（0.3），增强个体探索能力。
4.3.2 动态应急聚集阈值
传统SGA的应急聚集阈值（连续5代无改进）固定不变，适应性较差。设计动态阈值策略：根据迭代进程调整阈值，迭代初期阈值设为3代，快速跳出初始局部最优；迭代中期阈值设为5代，平衡探索与开发；迭代后期阈值设为8代，稳定收敛至优质解。同时，聚集阶段提取的最优子路径数量K动态调整为M×1.2（向上取整），确保融合足够的优质信息。
5 结论与展望
5.1 研究结论
本文系统开展了基于雪雁算法（SGA）的LS-SDMTSP求解研究，得出以下核心结论：①构建了精准的LS-SDMTSP数学模型，明确了目标函数与约束条件，剖析了大规模场景下的搜索空间爆炸、解可行性维护等核心挑战；②提出了适配LS-SDMTSP的SGA求解方案，包括分段整数编码、聚类-贪心混合初始化、动态约束处理等关键策略，实现了算法与问题的高效适配；③实验验证表明，SGA在总行驶距离、收敛时间、最优解发现率等指标上均显著优于传统GA与PSO，尤其在大规模场景下表现出更强的鲁棒性与优越性，能够为实际物流配送等场景提供高效的路径优化方案。
5.2 未来展望
尽管本文提出的方法取得了良好效果，但仍有进一步优化的空间，未来可从以下方向展开研究：①多目标优化扩展：当前研究以总行驶距离最小化为单一目标，未来可引入时间窗口、车辆载重、碳排放量等约束，构建多目标优化模型；②动态环境适应：针对客户点动态增减、交通拥堵等实时变化场景，设计动态SGA算法，提升算法的在线优化能力；③混合算法融合：将SGA与局部优化算法（如2-opt、3-opt）融合，进一步提升解的局部质量；④并行化实现：利用GPU加速种群评估与迭代过程，缩短大规模问题的求解时间，推动算法在超大规模场景中的应用。
⛳️ 运行结果
🔗 参考文献
[1] 杨芳芳,宋雪雁,张伟民.价值共创视角下智慧医疗推广的演化博弈研究[J].知识管理论坛, 2023(5):432-444.
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[3] 李飞,白艳萍.用遗传算法求解旅行商问题[J].中北大学学报：自然科学版, 2007, 28(1):4.DOI:10.3969/j.issn.1673-3193.2007.01.011.
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