天赐范式第188天：让定价开始定量——σ_v*(v)的闭式近似与一阶条件

天赐范式第188天·第二篇：让定价开始定量——σ_v*(v)的闭式近似与一阶条件

摘要

总fitness闭式近似F≈[ω/√(ω²+σ_x²)]·exp(−lag²/(2ω²))，一阶条件给出σ_v*(v)的可计算闭式近似。v=0时σ_v*≈0.020（187-2），v∈[0.001,0.01]理论0.037→0.093 vs 数值0.040→0.100（网格分辨率内相容），bet-hedging从定性方向给出定量公式。

一、接续187-2降调4：定性方向做完了，定量呢？

187-2确立了bet-hedging的方向：v越大σ_v*越大。但降调4白纸黑字——“bet-hedging是定性结论，σ_v*对v的定量关系（线性？幂律？）需要更多数据点。”

这篇把"方向"升级成"函数"。工具是187两台机器的合成：lag公式（187-1）给出滞后项，散布公式（187-2的解析收敛值）给出散布项，两者相乘是总fitness的闭式近似，对σ_v求极值的一阶条件给出σ_v*(v)。

这是继186-2之后，全链先验机器的第二次应用——186-2是第一次（Var(g)自洽→N*(σ_v)），188-2是第二次（lag×散布→σ_v*(v)）。

二、总fitness闭式近似

散布项

种群均值在峰上时，平均fitness = ω/√(ω² + σ_x²)，其中σ_x² = Var(g)*(σ_v) + σ_e²。这是187-2用的解析收敛值。

滞后项

种群均值偏离峰lag时，fitness额外乘exp(−lag²/(2ω²))（σ_x²≪ω²时近似；严格卷积分母含ω²+σ_x²，实测近似版更贴）。lag* = v·(1−c)/c，c = β·h²(σ_v)·K(σ_v)由σ_v决定。

总fitness

F(σ_v, v) ≈ [ω/√(ω² + σ_x²(σ_v))] × exp(−lag*(σ_v, v)² / (2ω²))

一阶条件

∂lnF/∂σ_v = 0：

−0.5·(dσ_x²/dσ_v)/(ω² + σ_x²) − lag·(dlag/dσ_v)/ω² = 0

数值求根找σ_v*(v)。Var(g)*由186-1自洽方程迭代求解，h²、K、c随之确定。代码验证：在σ_v*处数值求∂lnF/∂σ_v，四个v点的|∂lnF/∂σ_v|均<0.18，一阶条件近似满足（argmax网格步长0.001，精确求根需更细网格）。

三、σ_v*(v)理论曲线

σ_v*随v单调增——bet-hedging方向确认。增长是亚线性：σ_v*/v从37（v=0.001）降到9.3（v=0.01）。log-log斜率α≈0.40，即σ_v*∝v^{0.40（0.037≈0.58×0.001}0.40，0.093≈0.58×0.01^0.40）。

四、加密网格数值验证

还187-2降调2（σ_v网格不够密）：σ_v从6点加密到13点（含0.015/0.030/0.040/0.060/0.070/0.080/0.150）。

理论vs数值fitness对比

闭式近似精度由lag决定：lag≲ω时比值≈1.00，lag≳ω后比值随lag上升。低σ_v端（lag大）在F非零的点上比值1.12-4.20；F理论趋零的区域出现inf等极端比值，无意义。峰值附近比值1.00-1.05，足够定位σ_v*。

peak_v=0.0010：

peak_v=0.0020：

peak_v=0.0050：

peak_v=0.0100：

σ_v*(v)：理论vs数值

理论预测与数值在网格分辨率内相容（理论步长0.001，数值间距0.010_{0.020，量化误差±0.005}0.010）——闭式近似直接命中。

187-2降调2的跳变消失。187-2粗网格下σ_v*在v=0.005→0.010间从0.050跳到0.100，「中间可能有过渡」。188-2加密后v=0.005→0.070、v=0.010→0.100，跳变消失变成连续过渡——反证187-2的跳变是网格稀疏造成的假象，也是加密网格还降调2最有力的证据。

五、结论与主线意义

叙事弧：

• 187-2：bet-hedging定性——v越大σ_v*越大
• 188-2：bet-hedging定量——F(σ_v,v)闭式近似+一阶条件给出σ_v*(v)
• 弧签名动作：187定性方向 → 188定量公式。
• 主线意义：176变异池参照从"方向"→"公式"。
• 全链先验机器第二次应用（继186-2）：lag公式×散布公式→σ_v*(v)。

降调：

1. 闭式近似在低σ_v端偏差大——测量窗未达稳态。F≈散布×滞后是稳态解，但低σ_v端c小→τ=1/c大（σ_v=0.010时τ=320代），测量窗600代=1.88τ未达稳态。归因检验：加代数→比值向1收敛（3.79→1.54），加N→无效，是初始条件暂态特征（187-2降调1同源）。峰值附近精确（比值1.00-1.05），不影响σ_v*定位。v=0.001的σ_v*测定值受暂态影响，只能作为方向参考，不能作为精确定量。

2. 理论与数值在网格分辨率内相容。理论σ_v*步长0.001，数值σ_v*网格间距0.010_{0.020（量化误差±0.005}0.010）。差0.002-0.007落在数值侧量化误差内，闭式近似直接命中。

3. σ_v*(v)的函数形式未闭式。一阶条件是隐式方程（Var(g)*需迭代求解），没有简单闭式。log-log拟合得α≈0.40（σ_v*∝v^0.40），但只有4个数据点，幂律vs对数需更多数据验证。

4. 187-2粗网格vs 188-2加密网格。187-2用6点σ_v网格得σ_v*≈0.050（v=0.001），188-2加密到13点得σ_v*≈0.040。差异是网格分辨率：187-2的6点不含0.040，最近邻是0.030和0.050，取了0.050。加密后最优在0.040，不是矛盾是分辨率提升。

5. 数值最优受网格分辨率限制。σ_v网格间距0.01，理论vs数值差0.002-0.007在分辨率量级内（0.002<0.01）。更密的网格能缩小差距，但计算量翻倍。

6. v→0极限未测。v→0时τ=1/c→∞，模拟窗口跑不到稳态。该预测留给后续用解析极限处理（接187-2降调1）。

7. 单位点模型。多位点、上位效应、连锁不平衡待后续。

系列还在逐步建设中，完善是和伙伴们的努力方向。

附录：完整代码

# -*- coding: utf-8 -*-""" 天赐范式 第188天 第二篇 让定价开始定量——σ_v*(v)的闭式近似与一阶条件 PID: TC-188B-V3.3.26.0 V3.3.26.0 · 2026-10-07 接续187-2降调4：bet-hedging是定性结论 → σ_v*(v)的定量关系 接续187-2降调2：σ_v网格不够密 → 加密网格 理论：总fitness闭式近似 散布项 F_s(σ_v) = ω/√(ω²+σ_x²(σ_v))，σ_x²=Var(g)*(σ_v)+σ_e² 滞后项 F_l(σ_v,v) = exp(−lag*(σ_v,v)²/(2ω²)) lag* = v·(1−c(σ_v))/c(σ_v)，c=β·h²(σ_v)·K(σ_v) 总fitness F(σ_v,v) ≈ F_s × F_l 一阶条件 ∂lnF/∂σ_v = 0： −0.5·(dσ_x²/dσ_v)/(ω²+σ_x²) − lag·(dlag/dσ_v)/ω² = 0 数值求根找σ_v*(v) 这是全链先验机器的第二次应用（继186-2）： lag公式（187-1）× 散布公式（187-2解析收敛值）→ σ_v*(v)闭式近似 预测： v→0：σ_v*→0（无限代数下无最优，187-2降调1） v增大：σ_v*增大（bet-hedging方向，187-2已确立） σ_v*(v)的函数形式：理论先给预测，数值判决 数值：加密σ_v网格验证理论σ_v*(v)曲线 """importsysimportmathimportnumpyasnpifhasattr(sys.stdout,"reconfigure"):sys.stdout.reconfigure(encoding="utf-8")PID="TC-188B-V3.3.26.0"TARGET=0.5X_STAR_0=0.8FITNESS_WIDTH=0.10BETA=0.3SIGMA_E=0.02N_POP=200N_GENERATIONS=1000WARMUP_STATIC=200WARMUP_TRACK=200N_SEEDS=20TOL=1e-12MAX_ITER=5000SIGMA_V_FINE=[0.005,0.010,0.015,0.020,0.030,0.040,0.050,0.060,0.070,0.080,0.100,0.150,0.200]PEAK_VELOCITIES=[0.001,0.002,0.005,0.010]SIGMA_V_THEORY=np.arange(0.003,0.25,0.001)defbar(title):print("="*72)print(" "+title)print("="*72)print()defsub(title):print("【"+title)print("-"*72)deffitness(x,x_star):returnnp.exp(-(x-x_star)**2/(2*FITNESS_WIDTH**2))defsolve_self_consistent(sigma_v):var_g=sigma_v**2/(1-BETA**2)foritinrange(MAX_ITER):sigma_x2=var_g+SIGMA_E**2h2=var_g/sigma_x2 v_x_sel=sigma_x2*FITNESS_WIDTH**2/(sigma_x2+FITNESS_WIDTH**2)var_g_sel=h2**4*v_x_sel+var_g*(1-h2**2)var_g_new=BETA**2*var_g_sel+sigma_v**2ifabs(var_g_new-var_g)<TOL:returnvar_g_new 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天赐范式 V3.3.26.0 · 2026-10-07