卷积核、FIR滤波器与LTI系统——一回事

禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》

三、四、五 三章之间的关系
§ 3 \S 3§3卷积核（空域滤波器）
§ 4 \S 4§4FIR滤波器（频域滤波器设计）
§ 5 \S 5§5LTI系统（图像复原）

这三部分实际上讲的是同一件事，都是LTI系统，对应线性卷积。

§ 3 \S 3§3卷积核和§ 4 \S 4§4FIR滤波器之间的桥梁是卷积定理，时域卷积对应频域乘积。
( f ∗ h ) ( x , y ) ⇔ F F ( u , v ) H ( u , v ) \left( f*h \right) \left( x,y \right)\overset{\mathscr{F} }{\mathop{\Leftrightarrow }}F\left( u,v \right)H\left( u,v \right)(f∗h)(x,y)⇔FF(u,v)H(u,v)
频域滤波器设计是利用频域设计滤波器，而不是指在频域滤波。FIR滤波器是空域滤波器。频域滤波器设计零相位滤波器是关于原点对称的。所以空域卷积不用旋转，但本意还是卷积。

§ 5 \S 5§5LTI系统

假设原始图像f ( x , y ) f(x,y)f(x,y)，通过一个点扩散函数h ( x , y ) h(x,y)h(x,y)（通常是模糊），并且观测的图像是g ( x , y ) g(x,y)g(x,y)。数学上，这个过程可以用卷积来表示

g ( x , y ) = ( f ∗ h ) ( x , y ) + η ( x , y ) g(x,y) = (f * h)(x,y) + \eta(x,y)g(x,y)=(f∗h)(x,y)+η(x,y)

其中，∗ *∗表示卷积操作，η ( x , y ) \eta(x,y)η(x,y)表示加性噪声。

图像复原通常解决去模糊问题。这是因为系统通常造成高频截止。但是图像滤波也常用锐化滤波。

离散时间系统与数字滤波器

离散时间系统与数字滤波器的概念等效。

FIR滤波器：h [ n ] h[n]h[n]有限长，卷积核与单位脉冲响应本质是同一概念（h [ n ] h[n]h[n]）。

• 数字滤波器更关注实现，因此直接称系数为“卷积核”或“滤波器抽头（Taps）”。
• 离散时间系统更关注系统分析，因此用“单位脉冲响应”描述系统特性。

图像滤波与图像复原

在信号处理中，图像滤波（Image Filtering）和图像复原（Image Restoration）是两个相关但目标相反的任务。它们的核心区别在于已知量和求解目标的不同。

一、图像滤波（Image Filtering）

1. 定义

图像滤波是指给定原始图像x xx和滤波器（或卷积核）h hh，通过某种运算得到输出图像y yy的过程。

2. 数学表达

y [ n ] = ( h ∗ x ) [ n ] （卷积） y[n] = (h * x)[n] \quad \text{（卷积）}y[n]=(h∗x)[n]（卷积）
或者更一般地
y = H x （线性系统表示） \boldsymbol{y} = \boldsymbol{H}\boldsymbol{x} \quad \text{（线性系统表示）}y=Hx（线性系统表示）

其中

• x \boldsymbol{x}x：输入图像（清晰/原始图像）
• h hh：滤波器（如高斯滤波、均值滤波、Sobel算子等）
• y \boldsymbol{y}y：滤波后的输出图像
• ∗ *∗表示卷积操作

3. 目标

• 去噪（如使用均值滤波、高斯滤波）
• 边缘检测（如使用 Sobel、Prewitt 等滤波器）
• 图像增强（如锐化（Unsharp Masking）、模糊）

4. 特点

• 正向问题：已知输入和系统，求输出
• 通常是线性操作（如卷积）
• 是图像复原的基础步骤之一

图像滤波例子

• 使用一个高斯滤波器h hh对图像x xx进行平滑，得到模糊图像y yy
• 使用 Sobel 滤波器对图像x xx提取边缘，得到边缘图y yy

二、图像复原（Image Restoration）（Inverse Problem）

1. 定义

图像复原是指在已知退化图像y yy的情况下，尝试恢复出原始图像x xx，有时还需要估计退化系统h hh。

2. 数学表达

y = h ∗ x + η （含噪声的退化模型） y = h * x + \eta \quad \text{（含噪声的退化模型）}y=h∗x+η（含噪声的退化模型）
或者
y = H x + η \boldsymbol{y} = \boldsymbol{H}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{\eta}y=Hx+η

其中

• y yy：观测到的退化图像（如模糊+噪声）
• h hh或H \boldsymbol{H}H：未知或部分已知的退化系统（如模糊核）
• x xx：原始图像（需要恢复的目标）
• η \boldsymbol{\eta}η：加性噪声（如高斯噪声）

3. 目标

• 去除模糊（Deblurring）
• 去噪（Denoising）
• 超分辨率（Super-resolution）
• 恢复清晰图像

4. 分类

• 非盲复原（Non-blind restoration）：已知模糊图像y yy，且知道模糊核h hh，求原始图像x xx
• 盲复原（Blind restoration）：已知模糊图像y yy，但不知道模糊核h hh，要求同时恢复x xx和h hh

两类子问题

(1) 非盲复原（已知h hh，求x xx）
模型
y = x ∗ h + η （已知 y 和 h ，求 x ） y = x * h + \eta \quad \text{（已知$y$和$h$，求$x$）}y=x∗h+η（已知y和h，求x）
方法

• 逆滤波（Inverse Filtering）
  X ^ ( u , v ) = Y ( u , v ) H ( u , v ) （对噪声敏感） \hat{X}(u,v) = \frac{Y(u,v)}{H(u,v)} \quad \text{（对噪声敏感）}X^(u,v)=H(u,v)Y(u,v)​（对噪声敏感）
• 维纳滤波（Wiener Filter）
  X ^ ( u , v ) = H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + S η ( u , v ) S x ( u , v ) Y ( u , v ) \hat{X}(u,v) = \frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2 + \frac{S_\eta(u,v)}{S_x(u,v)}} Y(u,v)X^(u,v)=∣H(u,v)∣2+Sx​(u,v)Sη​(u,v)​H∗(u,v)​Y(u,v)
  （S η S_\etaSη​、S x S_xSx​为噪声和信号的功率谱）。

(2) 盲复原（未知h hh，联合求x xx和h hh）
模型
y = x ∗ h + η （已知 y ，求 x 和 h ） y = x * h + \eta \quad \text{（已知$y$，求$x$和$h$）}y=x∗h+η（已知y，求x和h）
方法

• 交替最小化（如 Richardson-Lucy 算法）
  h ← h ⋅ ( y x ∗ h ∗ x ) , x ← x ⋅ ( y x ∗ h ∗ h ) h \leftarrow h \cdot \left( \frac{y}{x * h} \ast x \right), \quad x \leftarrow x \cdot \left( \frac{y}{x * h} \ast h \right)h←h⋅(x∗hy​∗x),x←x⋅(x∗hy​∗h)
• 深度学习方法（如 CNN 估计h hh和x xx）。

5. 核心挑战

1.图像复原的病态性

• 解不唯一（如h hh和x xx的多种组合可生成相同的y yy）。
• 对噪声敏感（高频信息丢失时，逆滤波会放大噪声）。

2.盲复原的复杂性

• 需额外约束（如h hh的稀疏性、x xx的平滑性）。

三、总结

• 图像滤波是从x xx和h hh到y yy的确定性过程。
• 图像复原是从y yy反推x xx或h hh的逆问题，需结合先验知识或数据驱动方法。