分时电价下家庭能量管理的MILP建模与MATLAB实现

前阵子把一个“基于分时电价的家庭能量管理策略研究”整理成了可复现的 MATLAB 代码，过程中踩了不少坑，也把建模思路重新捋了一遍。这个题目在电气工程课程设计和毕业设计里出现频率很高，很多人第一反应就是套一个优化算法跑结果，但真正有价值的是你怎么把“洗衣机什么时候开”“电池什么时候充放”这堆日常琐事翻译成数学问题。这篇文章就把整条链路完整写一遍，从问题拆解、模型设计、intlinprog 实现，到结果分析和常见坑位排查，给准备上手的人当个参考地图。

1. 问题拆解：家庭能量管理到底在优化什么

1.1 分时电价的“可乘之机”

分时电价按电网负荷高低把一天分成峰、平、谷几个时段，峰时段用电贵，谷时段用电便宜。对用户来说，省电费不是少用电，而是把能挪的用电需求挪到电价低的时段去。这和错峰出行一个道理，路还是那条路，人还是那些人，但时间错开了，拥堵就缓解了，对电网对钱包都有好处。

在这个题目里，分时电价是外部输入信号，家庭能量管理系统就是根据这个信号去调度家里各种用电设备。值得注意的是，峰谷价差越大，调度空间越大，模型能“省”出来的钱也越多。所以价电结构的设计本身就是后续灵敏分析里一个关键变量。

1.2 把家庭负荷分成“能搬”和“不能搬”

家庭里的电器五花八门，但从能量管理角度，可以分成三类来看。

这里有个建模要点：描述一个可转移设备，只需要三个参数。额定功率 P，运行时长 D，允许启动窗口 [wS, wE]。比如洗碗机功率 2kW，运行 2 小时，用户只接受在 22 点到 23 点这个窗口内启动，那模型就只能在这两个时刻里挑一个。如果用户说“晚饭后什么时候都行”，窗口就放宽到 18 点至 23 点，优化空间自然更大。

很多人在建模初期容易把所有设备全列一遍，把约束写得极其复杂，其实没必要。家庭能量管理的价值恰恰在少数几个“功率大、可转移、时长固定”的设备上，那些小功率设备即使挪了也省不了几毛钱，不值得为它们增加模型复杂度。

1.3 把“省电费”写成数学表达式

优化目标是让一天的总购电费用最小，也就是：

min Σ price(t) × Pgrid(t)

其中 price(t) 是 t 时段电价，Pgrid(t) 是从电网买电的功率。这里不直接写“峰时不能开空调”这种规则，是因为规则是死的，而优化是活的——它会综合考虑电价、光伏出力、电池状态和用户允许窗口，在约束范围内自动找到最优组合。

约束条件主要有四块：

• 设备运行约束：每个可转移设备在这个调度周期内恰好启动一次，并且连续运行 D 小时；
• 储能 SOC 约束：电池电量按充放电功率和效率递推，每个时刻都落在上下限之间；
• 功率平衡约束：光伏出力 + 电网购电 + 电池放电 = 家庭负荷 + 电池充电 + 弃光；
• 变量边界约束：设备启动变量是 0/1，功率变量非负，进线功率有上限。

这四个约束加上目标函数，就是一个标准的混合整数线性规划问题。设备启停是离散变量，功率和能量是连续变量，线性目标加线性约束，正好落在 MILP 的框架里。

2. 建模与算法选型：为什么最终用 MILP

2.1 启发式规则 vs 数学优化

我一开始也尝试过纯规则调度：峰时不洗衣服，谷时再给车充电，光伏出力大的中午让电池充电。这种思路实现简单，三个设备时完全够用，靠几条 if-else 就能搞定。

问题是设备一多，规则就开始打架。洗衣机想挪到谷段，但谷段电池也要充电，电动车也要充，进线容量又有限，到底优先给谁？光伏午间出力大，电池已经满了，是弃光还是调热水器到中午？如果完全靠手写规则排优先级，每次新增一个设备都要重新调整规则，而且永远没法证明当前方案是全局最优。

数学优化把这套逻辑交给求解器：你只需要诚实地把“能做什么”“不能做什么”写进约束，求解器会在整个可行域里找最优解。这不是玄学，而是分支定界法在几十上百个整数变量下确实能稳定求到全局最优。

2.2 线性规划、整数规划和混合整数线性规划

线性规划 LP 要求变量全是连续量，比如只优化电池充放电功率，设备固定不调度，那是个纯 LP 问题。整数规划 ILP 要求变量全为整数，如果只看设备启停不看功率，那接近 ILP。而家庭能量管理是两者混合：设备开关是 0/1 整数，电池功率是从 0 到 3kW 的连续量，所以必须是 MILP。

从算法实现角度，MILP 的核心是分支定界，连续子问题用单纯形法或内点法解。求解器保证收敛到全局最优，这是启发式算法做不到的。有人会问：为什么不用动态规划？动态规划对状态空间要求很苛刻，设备数目多了之后状态组合爆炸，写状态转移方程也远不如 MILP 直观。为什么不用遗传算法和粒子群？它们更适合目标函数复杂、导数信息缺失、大规模非线性问题，对于这种线性约束的调度问题，用启发式算法不仅慢，而且每次运行结果都可能不同。

我见过不少同学做这个课题，第一反应就是“这是个优化问题，所以要用智能优化算法”，然后在 MATLAB 里调 ga 函数，跑半天出一个不稳定的结果，论文还没法解释为什么是这个结果。这属于典型的工具选型错误。

2.3 为什么用 MATLAB intlinprog

工具对比起来其实很简单：

就这个题目来说，24 个时段、不到 100 个 0/1 变量，intlinprog 完全没压力，而且内置函数意味着读者拿到代码就能跑，不需要处理许可证和安装问题。我自己后续做 96 时段（15 分钟粒度）扩展时，intlinprog 也还能扛，只有到成千上万个整数变量才需要换专业求解器。

3. MATLAB 代码实现：完整可复现的核心脚本

3.1 参数准备与变量索引设计

写代码之前要先把变量结构设计好。我采用“启动时刻变量”而不是“逐时段启停变量”，这是整个建模里最关键的一个选择。

如果定义 x(t) 表示设备在第 t 时段是否运行，那么“连续运行 D 小时”这个约束需要额外引入启动标志、停机标志，还要防止设备运行被打断，约束写起来非常绕。但如果定义 g(t) 表示设备在第 t 时段启动，那么设备在 t, t+1, ..., t+D-1 这些时段都在运行，连续运行约束自动成立。

代价仅仅是变量数量没变：一台设备原来要 24 个 0/1 状态变量，现在要 24 个 0/1 启动变量，仍然是 24 个。这是很划算的一笔交易。

本案例的设备参数如下：

注意启动窗口的上限要满足 wE ≤ T - D + 1，否则设备在一天末尾启动后运行时段会跨到第二天，模型就会不可行。

3.2 核心脚本（可直接运行）

下面是完整主脚本，分段展示，实际使用直接合并成一个 .m 文件即可。

%% 基于分时电价的家庭能量管理主脚本 clear; clc; T = 24; dt = 1; % 24时段，每段1小时 Cap = 10; soc0 = 0.5; % 电池容量10kWh，初始SOC 0.5 etaCh = 0.95; etaDis = 0.95; % 充放电效率 %% 分时电价（元/kWh），对应0:00-23:00 price = [0.35*ones(1,7), 0.7*ones(1,3), 1.2*ones(1,5), ... 0.7*ones(1,3), 1.2*ones(1,3), 0.7*ones(1,2), 0.35*ones(1,1)]; %% 基线负荷与光伏出力（kW），24小时候 Pbase = [0.8 0.7 0.6 0.6 0.6 0.7 0.9 1.2 1.0 0.8 0.9 1.1 ... 1.0 0.9 0.9 1.0 1.2 1.5 1.8 1.7 1.4 1.1 0.9 0.8]; Ppv = [0 0 0 0 0 0 0.2 1.0 2.2 3.5 4.2 4.5 ... 4.0 3.2 2.0 1.0 0.2 0 0 0 0 0 0 0]; %% 可调度设备参数 dev = struct('name', {'WM','DW','EV','WH'}, ... 'P', [1.5, 2.0, 3.0, 1.0], ... 'D', [2, 2, 2, 1], ... 'wS', [10, 22, 21, 7], ... 'wE', [23, 23, 23, 9]); %% 决策变量索引 nDev = length(dev); nSt = T * nDev; pSeg = @(k) (k-1)*T + (1:T); % 第k个设备启动变量的索引 idxCh = nSt + (1:T); % 电池充电功率 idxDis = nSt + T + (1:T); % 电池放电功率 idxGrid = nSt + 2*T + (1:T); % 电网购电功率 idxCur = nSt + 3*T + (1:T); % 弃光功率 N = nSt + 4*T; %% 目标函数：只对购电和弃光计成本 f = zeros(N,1); f(idxGrid, 1) = price(:); f(idxCur, 1) = 0.01; %% 变量边界 lb = zeros(N,1); ub = inf(N,1); for k = 1:nDev tmp = zeros(1,T); tmp(dev(k).wS:dev(k).wE) = 1; % 只允许在窗口内启动 ub(pSeg(k), 1) = tmp; end ub(idxCh, 1) = 3; % 最大充电功率 3kW ub(idxDis, 1) = 3; % 最大放电功率 3kW ub(idxGrid, 1) = 10; % 家庭进线容量约10kW ub(idxCur, 1) = Ppv; % 弃光不超过光伏出力 intcon = 1:nSt; % 前96个变量为0/1整数 %% 等式约束：设备仅启动一次 + 功率平衡 neq = nDev + T; Aeq = zeros(neq, N); beq = zeros(neq, 1); row = 0; for k = 1:nDev row = row + 1; Aeq(row, pSeg(k)) = 1; beq(row) = 1; % 每台设备恰好启动一次 end for t = 1:T row = row + 1; Aeq(row, idxGrid(t)) = 1; Aeq(row, idxDis(t)) = 1; Aeq(row, idxCh(t)) = -1; Aeq(row, idxCur(t)) = -1; for k = 1:nDev seg = pSeg(k); for s = max(1, t-dev(k).D+1) : min(t, T-dev(k).D+1) Aeq(row, seg(s)) = Aeq(row, seg(s)) - dev(k).P; end end beq(row) = Pbase(t) - Ppv(t); end %% 不等式约束：SOC 上下限 nSoc = 2*(T+1); A = zeros(nSoc, N); b = zeros(nSoc, 1); for t = 1:T+1 aCh = zeros(1,N); aDis = zeros(1,N); if t > 1 aCh(idxCh(1:t-1)) = etaCh * dt / Cap; aDis(idxDis(1:t-1)) = -dt / (etaDis * Cap); end A(2*t-1,:) = aCh + aDis; b(2*t-1) = 0.9 - soc0; % soc <= 0.9 A(2*t,:) = -(aCh + aDis); b(2*t) = -(0.2 - soc0); % soc >= 0.2 end %% 求解 opts = optimoptions('intlinprog', 'Display', 'final'); x = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub); if ~isempty(x) Pgrid = x(idxGrid); Pch = x(idxCh); Pdis = x(idxDis); Pcurt = x(idxCur); % 重建设备负荷与SOC devLoad = zeros(1,T); for k = 1:nDev seg = pSeg(k); for s = 1:T-dev(k).D+1 if x(seg(s)) > 0.5 devLoad(s:s+dev(k).D-1) = devLoad(s:s+dev(k).D-1) + dev(k).P; end end end soc = zeros(T+1,1); soc(1) = soc0; for t = 1:T soc(t+1) = soc(t) + (etaCh*Pch(t) - Pdis(t)/etaDis)*dt/Cap; end totalLoad = Pbase + devLoad + Pch' - Pdis'; baseCost = sum(price .* Pbase); optCost = sum(price .* Pgrid'); fprintf('调度前电费: %.2f 元\n', baseCost); fprintf('调度后电费: %.2f 元\n', optCost); fprintf('节省比例: %.2f%%\n', (baseCost - optCost)/baseCost*100); figure; subplot(3,1,1); stairs(0:T-1, price, 'k', 'LineWidth', 1.5); title('分时电价'); ylabel('元/kWh'); xlim([0 T]); subplot(3,1,2); hold on; stairs(0:T-1, [Pbase Pbase(end)], 'b--', 'LineWidth', 1.2); stairs(0:T-1, [totalLoad totalLoad(end)], 'r-', 'LineWidth', 1.5); legend('基线负荷', '调度后总负荷', 'Location', 'best'); ylabel('kW'); xlim([0 T]); subplot(3,1,3); stairs(0:T, soc, 'g', 'LineWidth', 1.5); title('电池SOC'); ylabel('p.u.'); xlabel('时段'); xlim([0 T]); end

代码里变量总量是 96 个 0/1 启动变量加 96 个连续功率变量，不等约束 50 行，等约束 28 行，规模非常小，intlinprog 基本瞬间出结果。设备启动窗口写进 ub 而不是额外加约束，这样矩阵维度少了很多，逻辑也更清晰。

3.3 几个建模技巧解读

这段代码里容易忽略但价值很高的地方，单独拿出来说。

第一，为什么 Pch 和 Pdis 不进目标函数？很多第一次建模的人会想把“充电成本”和“放电收益”直接写进 f，结果发现要么算重复了，要么出现诡异的同时充放电。实际上充放电的代价已经隐含在购电功率里：充电会让家庭负荷变大，购电变多；放电会让购电变少。所以只需要给 Pgrid 乘电价，其他功率变量不需要直接计费。

第二，为什么可以不写“禁止同时充放电”约束？理论上充放电同时进行会白白产生损耗，还多占用电功率，目标函数是省电费，这种方案不可能成为最优解。这个证明在论文里也不难写，所以代码直接省掉这组二进制变量。

第三，为什么弃光惩罚设 0.01 而不是 0？光伏出力很大的中午，如果电池满了、负荷又低，多余的电力只能丢掉才保证功率平衡。如果不给弃光设置一个极小的惩罚，目标函数对弃光量不敏感，求解器可能给出莫名其妙的大弃光方案；给了 0.01，模型就会在保证经济性的前提下尽量消纳光伏。

第四，关于总功率限制。代码中电网购电上限设置了 10kW，这其实就是家庭进线容量的近似。洗衣机、洗碗机、电动车、热水器再加上充电桩如果同时拉满，功率很容易超过 10kW，模型为了满足约束会自动错峰。如果完全不加这个上限，所有可转移负荷会疯狂挤向谷段，结果虽然“最优”，但现实里早就跳闸了。

4. 结果分析与灵敏度测试：参数怎么影响调度策略

4.1 基准场景结果解读

用上面这套参数跑下来，我这边基线的电费大概在 24 元左右，优化后降到 19 元上下，节省比例约 20%~25%。具体数字跟你设置的基线负荷、光伏曲线、电价数值都有关系，重点是看现象。

调度后设备基本会落在谷段或平段尾巴上。电动车最明显，只要窗口允许，它一定被排到 23 点以后启动，后两小时全在谷段。洗碗机因为窗口只有 22~23，通常会在 23 点启动，运行 23、24 两个谷段。热水器早上用，只能在 7~9 点启动，一般选 9 点，能晚一点是一点。

电池 SOC 曲线的形状也很有代表性：谷段充电，午间光伏出力大时再次充电，晚高峰放电顶着负荷，SOC 在 0.2~0.9 之间震荡。看到这条曲线基本就能判断模型行为是否合理。

4.2 关键参数灵敏度测试

改参数跑灵敏度分析是这个题目的点睛之笔。同一套代码，改几个数就能得到不同策略：

这种表格放进论文里非常出效果，因为它说明你的模型不是只能跑一组数据的死代码，而是能对参数变化做出符合物理直觉的响应。

4.3 用户使用窗口才是真正的“舒适度约束”

很多人把舒适度建模想得很玄，实际上在分时电价调度里，设备允许启动窗口就是最直接的用户偏好表达。电动车如果限定必须在回家后立即充电，比如 19:00~21:00 窗口，那充电就只能落在峰段，电费立刻上去；如果允许延迟到 23 点，电费就能降下来。设计模型时把窗口参数单独抽出来，后续做“经济性 vs 舒适性”的权衡分析就非常方便。

5. 常见问题与排查实录

5.1 intlinprog 返回“无可行解”

这个问题绝大多数出在启动窗口设计上。最常见的原因有三种：

• 窗口上限超过 T-D+1，设备启动后时段不够用；
• 窗口长度本身小于 1，比如用户设置的 wS 大于 wE；
• 等式约束里要求“恰好启动一次”，但窗口内的所有启动位置都被其他约束排除了。

排查方法是把每个设备的所有可选启动时刻打印出来，逐一核对窗口和时长。我在调试时习惯在构造 ub 之后加一行 fprintf 输出每台设备的可选启动点数量，基本一眼就能看出问题。

5.2 SOC 越界或者变化对不上

SOC 计算常见的单位坑：电池容量是 kWh，功率是 kW，时间已经折算成小时，所以每个时段充电量是 etaCh × Pch × dt，SOC 变化量是充电量除以容量。很多人把 dt 漏掉，或者把效率和功率的先后顺序搞反，导致 SOC 曲线突变甚至越界。

建议在约束里强制 SOC 每时段都在 0.2~0.9，同时在后处理重建 SOC 时单独用循环算一遍，两边一致才算建模正确。

5.3 结果出现同时充放电

正常情况下最优解不会同时充放电，但如果你的目标函数把充电功率乘以电价、放电功率也乘以电价，就可能鼓励设备“边充边放”来制造账面收益。检查思路很直接：看 f 里是不是给 idxCh 和 idxDis 都赋了非零系数。正确做法是只让购电功率承担收费标准，充放电通过功率平衡间接影响购电量。

5.4 求解时间过长

这个案例 96 个整数变量，intlinprog 是秒出。如果扩展到 15 分钟粒度、96 个时段、十几台设备，整数变量超过几百个，求解时间就可能明显上升。解决的思路不是换算法，而是先检查整数变量能不能再压缩。比如把同类型设备聚合成一台大功率设备，或者固定部分设备的启动时段，把决策空间缩小到真正需要优化的设备上。

5.5 所有可转移负荷全堆在谷段

模型把设备都挪到谷段，看起来是正确行为，但如果完全忽略家庭进线功率，结果会显得不太真实。给 Pgrid 设置上限是最简单的修正方法，效果是模型会自动错开高峰设备，代价是可能牺牲一部分谷段优势。需要说明的是，加入进线约束后问题依然可行，因为设备的启动窗口分散在不同时段，总有满足所有约束的组合存在。遇到不可行就回到 5.1 的方法查窗口。

6. 扩展方向与个人心得

6.1 从分时电价到实时电价

分时电价是静态信号，实时电价是动态变化信号。把 price 从固定数组换成实时预测序列，模型结构完全不需要改动，只是优化结果会更激进，因为电价低点和高点会更极端。这也会让储能策略更依赖预测精度，后续可以结合预测误差做鲁棒优化。

6.2 从单家庭到社区协同

单家庭优化是“小我”，社区优化是“大我”。多个家庭共享一台配电变压器时，除了各家电费最小，还要考虑变压器峰值功率不超限，否则可能触发基本电费罚款或设备保护。此时目标函数变成“各家电费之和 + 峰值惩罚”，约束增加一个社区总负荷上限条件，模型规模会变大，但架构上还是 MILP。

6.3 加入多目标与电池寿命

只省电费会导致电池频繁深度充放，对寿命并不友好。扩展方向是把电池循环深度、单日内充放次数加入惩罚项，或者直接用权重法把“电费最小”和“电池老化最少”变成双目标。这个扩展会让代码复杂度上一个台阶，但论文的层次也会明显提升。

6.4 做这类课题的几点经验

我自己的心得是，这类仿真项目最重要的不是一开始就跑大而全的模型，而是分三步走。第一步，用 24 时段把基础模型跑通，确认 SOC、设备状态、费用都对得上。第二步，把绘图和结果统计脚本独立出来，每次调参后自动生成对比图和汇总表，避免手动复制数据。第三步，再做扩展，比如 96 时段、多目标、不确定性，每一步改完用灵敏度测试验证模型行为是否合理。

另外建议所有参数都集中放在脚本头部，设备参数用 struct 或者表格存储，不要散落到代码各处。这个题目后续改动基本都在参数区，代码主体很少动，结构清晰的脚本改起来会节省大量时间。

如果你也准备拿这个题目做课程设计或者毕业设计，最省力的路线就是把基础 MILP 模型先跑通，再逐步加约束和场景。先把这套代码吃透，再去套自己的对象，会顺畅得多。