dea solver的Matlab实现：从效率评价原理到CCR/BCC模型实战

简介：这是一份面向运筹学、管理科学研究者与学生的小型DEA（数据包络分析）MATLAB程序包，内含DEA Solver工具箱，可用于CCR、BCC等多种经典模型的快速构建与求解，解决多输入多输出系统的相对效率评估问题。压缩包共21个文件、仅2.54MB，按源码、数据、文献清晰分类，主要包含11个xls格式示例与结果数据、4个pdf格式原理与应用文献、2个m格式MATLAB源码，以及mat数据、doc说明和txt导入说明，兼顾理论学习与直接运行。目前已有443人学习下载，适合从DEA入门到自定义扩展的各类用户。通过该程序包，读者既可研读PDF文档理解模型原理，也可参考xls数据验证输出结果，并基于m脚本修改投入产出变量，适配企业、医院、学校等组织评价场景，从阅读原理到动手验证形成闭环。需要留意，DEA Solver可能依赖MATLAB优化工具箱，处理较大数据集时需合理调整模型参数与求解设置，以提高计算效率。

1. DEA的matlab程序到底在解决什么问题：拿dea solver做效率评价的最小路径

当老板把十二家分公司的投入产出表拍在桌上，问你“到底谁效率高”时，单靠人均产出或成本利润率来排名会立刻打架：A公司利润率好看但设备折旧吓人，B公司设备利用率高但人力成本超支，指标越多越说不清。DEA（数据包络分析）的价值在于，它不需要你事先拍脑袋定指标权重，而是让每个决策单元在自己最有利的权重组合下与全体样本比较，谁落在效率前沿上，谁就是标杆。而DEA的matlab程序里最常见的核心求解模块就是dea solver：你只需要准备一张投入产出表，调用它，就能拿到每个决策单元的效率值、参考基准和改进方向。这篇笔记就沿着这个标题往下拆：先讲清楚dea solver背后的模型怎么选，再给你一套能直接跑起来的最小代码，最后把用这套程序踩过的坑一并写出来。不管你是做运营分析、写学位论文，还是给业务部门做资源盘点，这套方案都能给你一个相对客观的效率排序。

2. 从效率公式到线性规划：dea solver背后的原理与模型选型

2.1 效率比值的直觉与DEA的包络思想

DEA的出发点其实是一个很朴素的比值：效率 = 加权产出 / 加权投入。难点在于权重怎么定。如果让业务部门自己报权重，一定吵到不可开交：销售觉得订单量重要，财务觉得回款率重要，生产觉得产能利用率重要。DEA绕开这个争议的办法是：对每个决策单元（DMU）分别找一套对它自己最有利的权重，然后看它在最有利的情况下，效率能不能达到1。

这句话听起来有点“偏袒”，但它正是DEA的核心逻辑——如果我给了你最优越的条件，你的效率仍然达不到1，那就说明你真的存在投入冗余或产出不足；反过来，如果达到了1，说明你在样本内是相对有效的。把所有效率为1的DMU连起来，就构成一条包络前沿，也就是效率前沿面。样本中的其他DMU都落在这条前沿面下方，距离前沿面的远近就是效率损失的大小。

这个思想对分析人员非常友好，因为它不需要预设生产函数。回归分析要先假设y = f(x)的形式，参数估计错了整篇文章就崩了；DEA不需要，它直接用线性规划从数据里“包”出前沿面，投入产出量纲不一致也没关系，每个DMU用的是同一套权重乘到同一个效率维度上，量纲自然被约掉。这就是为什么DEA这类方法在效率评价里越来越常见，也是dea solver这类matlab程序存在的根本理由。

2.2 CCR、BCC与导向选择：不同效率评估角度

dea solver里最常见的两个模型是CCR和BCC。CCR模型假设规模报酬不变：投入翻倍，产出也应该翻倍，适合评价那些标准化程度高、规模复制能力强的对象，比如连锁门店、标准产线。BCC模型则允许规模报酬可变：当投入增加一倍时，产出可以增加更多，也可以增加更少，规模太小或太大都会影响效率，适合有固定成本、有规模门槛的场景，比如重资产工厂、医院、高校实验室这类样本。

用matlab跑DEA时，模型选择的背后是业务问题，不是数学问题。你关心的是“谁在综合效率上最好”，就用CCR；你关心的是“剔除规模因素后谁的技术和管理水平最高”，就用BCC。两者相除还能得到规模效率，这个我放在最后一章的进阶技巧里再展开。

导向选择同样取决于业务场景。投入导向的意思是产出保持不变，看投入最多能等比例压缩多少；产出导向的意思是投入保持不变，看产出最多能等比例扩张多少。一般来说，当需求量相对固定、你能控制的多是成本和资源投入时，选投入导向；当资源受限、要靠提升产出效率来增加收益时，选产出导向。大多数dea solver默认支持这两个方向，参数上只是把目标函数里的θ从“最小化”改成“最大化”，再调整一下约束方向。

CCR与BCC的核心差异可以压成一张表，选型时直接对着看：

2.3 dea solver在Matlab里怎么落地这层逻辑

dea solver本质上不是一个黑匣子，它就是把上面说的线性规划模型翻译成Matlab能求解的标准形式。DEA的原始模型是一个分式规划，形如最大化加权产出比加权投入，直接求解不方便；经过变换之后，变成对每个DMU分别求解一个线性规划，目标是最小化效率值θ，约束是“参考集的投入组合不超过θ乘以当前DMU的投入，参考集的产出组合不低于当前DMU的产出”。

dea solver做的事情就是把这个线性规划逐DMU建出来，然后调用Matlab自带的linprog函数求解。linprog默认的算法在新版Matlab里是dual-simplex，对小规模的DEA问题（几十个DMU、几个指标）速度完全够用。理解这层结构对之后改超效率模型很有帮助，因为超效率模型的核心改动就发生在约束矩阵里，而不是在算法层面。

我一般会建议初学者不要一上来就改造dea solver内部代码，而是先把它当成一个标准函数用起来，跑通一条完整的数据流之后，再回头读内部实现。下面一章就开始动手。

3. 用dea solver跑通最小案例：投入产出整理、调用代码与结果对照

3.1 从业务数据到矩阵：投入产出表的整理规则

用dea solver的第一步不是写代码，而是整理数据。常见的做法是维护一张Excel表，每行一个决策单元DMU，前面几列是投入指标，后面几列是产出指标。投入指标的特点是越小越好，比如员工人数、设备台数、运营成本；产出指标的特点是越大越好，比如营业收入、订单量、客户满意度得分。

有一个方向性问题需要特别注意：有人把成本类指标放在产出列，认为“成本高说明业务量大”，这是错误的。DEA模型里投入和产出的方向是写死在约束里的，放反了会把效率前沿完全扭曲，算出来的值没有任何业务意义。

数据准备好之后，先在Excel里看一眼有没有空值、0值和负值。CCR和BCC模型都要求投入产出为正数，0值会让约束退化，负值会让线性规划可能直接无解。这一步是后面避坑章节的第一个大坑，建议在进模型前就处理干净。

读取和拆分的代码很简单，用readmatrix就能搞定：

% 读取Excel中的投入产出表 % data.xlsx: A列为DMU编号，B-C列为投入，D列为产出 % 假设共5个DMU，数据区域是B2:D6 raw = readmatrix('data.xlsx', 'Range', 'B2:D6'); X = raw(:, 1:2); % 投入矩阵：5行2列 Y = raw(:, 3); % 产出矩阵：5行1列 % 快速检查数据维度 disp(size(X)); disp(size(Y));

代码里readmatrix是Matlab推荐的表格读取接口，Range参数指定区域能避免读入DMU编号这类非数值列。读完之后马上打印维度，确认X的每行对应一个DMU、每列对应一个投入指标，Y的每行对应同一个DMU的产出。这个检查看起来多余，但实际操作中因为列顺序搞错导致结果错乱的情况非常多，算完才发现就晚了。

3.2 最小可运行的dea solver调用与内部实现

如果你已经拿到了某个dea solver程序，通常它的调用接口形如这样：

% 常见的dea solver调用方式 % [eff, lambda, slack] = dea_solver(X, Y, model, orient) % eff: 每个DMU的效率值向量 % lambda:参考权重矩阵，第k行表示DMU k用了哪些DMU作为参考基准 % slack: 投入冗余与产出不足的松弛变量 % model: 'CCR' 或 'BCC' % orient:'input' 投入导向 或 'output' 产出导向 [eff, lambda, slack] = dea_solver(X, Y, 'CCR', 'input'); disp(eff);

运行后屏幕会打印5个效率值，其中应该至少有一个是1.0000，其余在0到1之间。效率为1的DMU就是当前样本里的标杆单元，效率低于1的DMU说明它存在一定比例的效率损失。

如果你手头没有现成的dea solver，也不用卡在这一步。我自己常用的是一个最小可运行的CCR投入导向实现，也就几十行，核心是逐DMU构造线性规划并调用linprog：

function [eff, lambda, slack] = dea_solver_ccr_input(X, Y) % 最小版CCR投入导向DEA求解器 % X: n x m 投入矩阵，每行一个DMU % Y: n x s 产出矩阵，每行一个DMU n = size(X, 1); m = size(X, 2); s = size(Y, 2); eff = zeros(n, 1); lambda = zeros(n, n); slack.s_minus = zeros(n, m); slack.s_plus = zeros(n, s); for k = 1:n % 决策变量 x = [theta; lambda(1:n); s_minus(1:m); s_plus(1:s)] f = [1; zeros(n + m + s, 1)]; % 目标：最小化 theta % 等式约束，共 m + s 行 Aeq = zeros(m + s, n + m + s + 1); beq = zeros(m + s, 1); % 投入约束: X' * lambda + s_minus = theta * X(k,:)' for i = 1:m Aeq(i, 1) = -X(k, i); % theta 的系数 Aeq(i, 2:1+n) = X(:, i)'; % lambda 的系数 Aeq(i, 1+n+i) = 1; % s_minus_i 的系数 end % 产出约束: Y' * lambda - s_plus = Y(k,:)' for r = 1:s row = m + r; Aeq(row, 2:1+n) = Y(:, r)'; % lambda 的系数 Aeq(row, 1+n+m+r) = -1; % s_plus_r 的系数 beq(row) = Y(k, r); end % 变量边界：theta 可自由，lambda 和松弛变量非负 lb = [-Inf; zeros(n + m + s, 1)]; ub = Inf(n + m + s + 1, 1); % 调用linprog求解 opts = optimoptions('linprog', 'Display', 'off', 'Algorithm', 'dual-simplex'); [xopt, ~] = linprog(f, [], [], Aeq, beq, lb, ub, opts); eff(k) = xopt(1); lambda(k, :) = xopt(2:1+n)'; slack.s_minus(k, :) = xopt(1+n+1 : 1+n+m)'; slack.s_plus(k, :) = xopt(1+n+m+1 : end)'; end end

这段代码的核心逻辑是循环里每一个DMU单独建一个线性规划。决策变量排列顺序为θ、λ向量、投入松弛、产出松弛，linprog要求目标函数f和约束矩阵Aeq都按这个顺序对齐。投入约束的写法是把DMU k自己的投入放到等式右边，让参考集的投入组合加上松弛变量等于 θ 乘以当前DMU的投入，这样θ正好反映“投入能等比例压缩到什么程度”。

代码里有两处参数值得说明。第一，Algorithm='dual-simplex'是linprog在新版Matlab里的推荐算法，小规模DEA问题用它求解稳定且快；如果你的Matlab版本较老，这个参数可能不被识别，解决办法在避坑章节细说。第二，lb的第一个元素设成-Inf是因为θ理论上可以小于1，不需要强制非负，但要保证求解出来的θ不出现负数，否则说明约束方向或数据有问题。

3.3 结果核验：用Excel Solver手算一个DMU

代码跑出来之后，强烈建议用一个DMU在Excel Solver里手动核算一遍。这一步不是证明代码有错，而是验证你对模型的理解和数据整理没有错。以我们的5个DMU案例为例，假设DMU 3的投入是(4,5)，产出是5，它的CCR投入导向线性规划可以写成：

最小化 θ，约束为：

• 2λ1 + 3λ2 + 4λ3 + 5λ4 + 6λ5 ≤ 4θ
• 3λ1 + 4λ2 + 5λ3 + 3λ4 + 7λ5 ≤ 5θ
• 4λ1 + 5λ2 + 5λ3 + 6λ4 + 7λ5 ≥ 5
• 所有λ ≥ 0

在Excel Solver里把θ设为目标单元格，λ1到λ5设为可变单元格，上面三个不等式设为约束，选择Simplex LP求解，得到的θ应该接近0.8。原因是观察数据会发现DMU 3的投入明显高于DMU 2，但产出和DMU 2相同，用λ2=1就能满足全部约束，此时θ需要同时满足4θ≥3和5θ≥4，最大值是0.8。这个小例子手算一遍，你对DEA的“包络”直觉会立刻建立起来。

4. 效率值、松弛变量与导向选择：dea solver结果怎么读、参数怎么调

4.1 三张核心输出：效率值、λ和松弛变量的业务含义

dea solver最常见的返回结果是三个：效率值向量eff、参考权重矩阵lambda、松弛变量slack。效率值是最直观的，等于1说明DMU在效率前沿上，小于1说明效率存在损失。但这里有个经常被误读的点：效率值等于1只代表“在样本内相对有效”，不代表“绝对优秀”。它只能说明在当前这批DMU构成的参考集里，没有其他DMU能用一个更低的投入组合达到同样产出。换个样本，效率值可能立刻变化，这一点解读结果时必须写在报告里。

参考权重矩阵lambda回答的是“谁是标杆”。如果第k个DMU的lambda向量里，第j个元素的值为1，说明DMU k的参考基准是DMU j；如果lambda分散在多个DMU上，说明它是多个标杆的组合。这在业务上的价值很大：一个效率低的分公司该向谁学习，看lambda就一目了然，不需要拍脑袋指定对标对象。

松弛变量回答的是“具体差多少”。效率值是等比例的压缩比例，但等比例压缩之后，可能某些投入还有额外冗余，这些冗余就是松弛变量s_minus；产出方面也可能存在额外不足，对应s_plus。比如某个DMU效率是0.9，说明理论上所有投入能等比例打九折；如果人员投入还有松弛，说明打九折之后还能再裁掉几个人，这个“再裁掉几个人”的数字就来自松弛变量。

4.2 关键参数设置：模型类型、导向与BCC扩展

参数表如下，几乎每个dea solver都通用：

模型和导向的选择逻辑在第2章已经讲过，这里补一个BCC的代码改造方法。BCC和CCR的唯一区别是多了“规模报酬可变”的约束，即所有λ之和等于1。在dea_solver_ccr_input的基础上，只需要在Aeq和beq里追加一行：

% BCC模型：在CCR约束基础上增加 sum(lambda) = 1 % 追加一个等式约束行 Aeq(m+s+1, 2:1+n) = ones(1, n); % 所有lambda系数为1 beq(m+s+1) = 1;

这段代码加在循环内部、构建完投入产出约束之后即可。有了这一行，线性规划允许的参考组合就是DMU的凸组合，而不是可以任意缩放的比例组合，规模报酬就从不变变成了可变。理解这一行，比背下整个BCC函数要重要得多，因为之后你自己扩展非期望产出、超效率模型时，改的都是约束矩阵，思路完全一致。

4.3 常见误读：DEA不是打分工具

很多初学者拿到效率值列表，第一反应是按效率值给DMU排名，然后说“第一名比第二名优秀多少”。DEA的效率值不具备这种绝对意义。效率值为1的DMU之间无法从效率值上分高下，因为它们都在前沿面上，必须借助超效率模型才能进一步区分。效率值0.95和0.9之间的差距也不代表业务差距恰好是5%，只是线性规划计算的结果。

还有一个常见误用是拿DEA去评价指标个数很少、DMU之间业务模式差异极大的对象。DEA的参考集假设DMU是同质的——投入和产出的类型一致，业务结构相似。把一家纯线下门店和一家纯电商公司放进同一个DEA模型，效率值会非常失真，因为两者的投入产出结构根本不在一个维度空间里。dea solver算得再准，也解决不了样本选择错误的问题。

5. dea solver实战避坑：数据零值、指标数量与linprog版本兼容

5.1 投入产出表里有0或负值，求解器直接翻车

现象：dea solver跑出来的效率值出现NaN，或者某个DMU的效率值算出来是负数，又或者linprog直接报错“the problem is infeasible”。第一反应是代码写错了，但多数情况下是数据问题。

原因：CCR和BCC模型要求投入产出为正数。投入为0意味着该DMU在这个指标上不需要任何资源，约束退化后前沿面会被这条零投入线“吸”过去，导致多个DMU效率异常；负值则可能让线性规划可行域直接为空。这不是dea solver的bug，是模型的数学前提被破坏了。

解决：先筛查数据，任何非正数都要处理。常见的做法是删掉该DMU，或者对该指标做整体平移，比如所有值加一个常数，使最小值变成1。但平移会改变效率前沿的形状，使用前要在报告里说明。更稳妥的办法是换用能处理非正投入产出的DEA扩展模型，比如方向性距离函数或SBM模型，不过那已经超出dea solver默认能力范围了。

5.2 指标数量太多，DMU数量太少，效率值几乎全是1

现象：模型跑通了，但结果表里90%以上的DMU效率值都是1，完全无法区分优劣。这不是业务上大家都很优秀，而是模型区分度失效了。

原因：DEA对每个DMU都找最有利的权重组合。如果指标数量多、DMU数量少，线性规划的自由度极高，每个DMU几乎都能找到一套让自己效率为1的权重，前沿面被“撑”得很大。

解决：控制指标数量与DMU数量的比例。业界常用的经验法则是DMU数量至少是指标总数的2倍，更保守的说法是3倍。比如有5个投入产出指标，DMU至少要在10个以上，15个以上更稳妥。如果指标降不下来，可以用主成分分析先压缩维度，再进DEA。这个坑我见过太多次，20个指标、8个DMU的数据跑出来效率全是1，还被当成“样本内大家都优秀”写进报告，纯属维度诅咒。

5.3 两个投入指标强相关，权重分配变成“玄学”

现象：某个被业务上公认为标杆的DMU，算出效率只有0.6；再看lambda和权重结果，两个高度相关的投入指标上权重分布极其不平衡，一个指标权重接近1，另一个接近0。

原因：投入指标之间如果存在强相关性，比如“员工人数”和“工资总额”几乎线性同步，DEA的线性规划会把这俩当成重复信息处理，权重分配在数学上不唯一，linprog返回的只是一个极端解。结果就是效率值不稳定、不可解释，权重看起来像在随机挑一个指标加权。

解决：建模前先跑相关系数矩阵，把相关系数超过0.9的指标删掉或合并。比如员工人数和工资总额保留一个即可。如果觉得删指标可惜，可以先用主成分把这两个强相关指标合成一个因子，再进DEA。这个预处理在Excel里就能做，不要偷懒跳过。

5.4 新版Matlab的linprog接口变动，老程序报错

现象：从网上下到的dea solver代码，在旧版Matlab上跑得好好的，换到新环境后报错，常见提示是“Invalid option syntax”或者某个optimset字段不受支持。

原因：Matlab在R2017b之后对linprog做了接口调整，旧的optimset写法中部分字段被移除或改名，比如LargeScale、Simplex等选项。很多老版本dea solver内部用的是旧式options写法，接口一换就崩。

解决：在linprog调用处改成新式写法。我一般用的替换方案是：

% 新版linprog推荐用法 opts = optimoptions('linprog', 'Display', 'off', 'Algorithm', 'dual-simplex'); [xopt, ~] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, opts);

如果只有optimset写法的老代码，最简单的办法不是逐字段翻译，而是直接删掉options参数，让linprog用默认算法求解。DEA问题规模通常不大，默认算法一样能解出来，只是迭代信息会刷屏，把Display关掉就行。如果你在改代码，注意新版linprog推荐用函数形式linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)，最好别用已经计划移除的x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)旧语法。

5.5 非期望产出没有处理，效率值虚高

现象：把“污染物排放量”“设备故障次数”“投诉量”这类指标直接放进产出列，算出来的效率值高得离谱，业务上一看就假。

原因：这些指标虽然数值上是产出维度，但业务含义是越小越好，属于非期望产出。DEA默认产出越大越好，把它放进产出列等于默认越多越好，模型自然会给这些指标分配高权重，导致效率虚高。

解决：常见做法是把非期望产出取倒数或取负值后转换成正向指标，再放进产出列。更严谨的方案是使用专门处理非期望产出的DEA模型，比如SBM模型或方向性距离函数。用dea solver做初步分析时，至少要做到“反向指标正向化”，否则结果没法对业务交代。我自己的习惯是直接在数据准备阶段就把非期望产出调换方向，并单独写一行注释说明，防止之后自己都忘了。

6. 从dea solver向上一步：规模效率分解、超效率改造与结果验证

6.1 用两次调用分解出规模效率

CCR效率值 = 纯技术效率 × 规模效率。用dea solver分别跑CCR和BCC，然后逐DMU相除，就能得到规模效率，进一步判断每个DMU当前处于规模报酬递增、递减还是不变区间：

% 跑两次DEA，分解规模效率 [eff_crs] = dea_solver_ccr_input(X, Y); % CCR：综合效率 [eff_vrs] = dea_solver_bcc_input(X, Y); % BCC：纯技术效率 scale_eff = eff_crs ./ eff_vrs; % 规模效率 % 判断规模报酬区间：按BCC的lambda之和判断 % sum(lambda) > 1 递减，< 1 递增，= 1 不变

规模效率低于0.9的DMU，说明当前规模是拖累效率的主要因素。这时候业务上的建议就不是“减投入”或“加产出”，而是“调整规模”，比如合并同类业务单元或拆分过大的团队。这个信息是单一CCR模型给不出来的，但代码改动量只有两行。

6.2 超效率模型：区分效率值都为1的DMU

效率前沿上的DMU效率值都是1，需要区分谁是“勉强贴边”，谁是“远超前沿”。超效率模型的做法是：求解第k个DMU时，把第k个DMU从参考集中剔除，不允许它参考自己。此时它的效率值可以大于1，大于1的部分反映它在前沿之外还有多少冗余空间。改动就在dea solver内部循环里：

% 在dea_solver_ccr_input的循环内部，构造lb和ub之后加两行 % 禁止当前DMU的lambda参与参考集 lb(1+k) = 0; ub(1+k) = 0;

因为我们的决策变量排列里lambda_k对应索引1+k，直接把它的上下界都压到0，linprog就不会再把它作为参考对象。效率值大于1的DMU，数值越大说明其效率越“超额”，这样就把前沿上的几个DMU也分出高下了。这个技巧在dea solver基础上改动极小，但用来给老板解释“为什么效率都是1还分先后”特别管用。

6.3 结果验证：拿一个DMU到Excel里复核

DEA程序跑完，我永远会抽一个DMU用Excel Solver复核。方法是把这个DMU的线性规划按第3章的方式手写约束，在Excel Solver里选择Simplex LP求解，比较θ和dea solver的输出。差异在1e-6以内说明程序链路没问题；如果对不上，优先检查Excel里数据是不是有单元格引错了，再检查dea solver输入的矩阵方向是不是转置了。

我最早用dea solver时吃的亏，就是拿着20个指标、8个DMU的数据硬跑，效率值几乎全为1，还以为自己发现了全员高效的奇迹，后来才明白是指标维度太少样本撑不住模型。DEA这套matlab程序本身不难跑，难的是让数据配得上模型，让参数的每个设置都有业务依据。如果你正准备拿dea solver做效率分析，先把这3件事做完：检查数据正负性、压缩强相关指标、控制DMU数量至少是指标数的两倍。这三件事做好了，程序会给你一个可信的结果；做不好，任何solver都救不了你。希望帮到你。

本文还有配套的精品资源，点击获取