YALMIP-R20210331实战：MATLAB优化建模与求解器配置指南

简介：YALMIP-R20210331.zip 是MATLAB优化建模工具箱YALMIP在2021年3月31日发布的版本，凭借灵活的建模能力，支持线性、非线性、二次、整数与混合整数规划等常见优化问题，并为动态优化与半定规划提供统一建模接口；适合科研人员、工程师及高校学生用于快速构建和求解优化模型。压缩包共1390个文件，整体仅1.23MB：1379个.m文件组成YALMIP的主要源码，涵盖主入口、分支定界逻辑以及各类求解器适配代码；4个txt文档和3个mat数据文件提供说明与示例数据，2个.c文件承担底层哈希查找等辅助功能。目前已有268人浏览并下载学习该版本，是轻量但功能完整的工具箱资源。用户解压后可直接获得完整源码、文档、示例与安装说明，既能通过sdpvar、intvar等命令定义半定与整数变量、建立约束并调用optimize求解，也可深入阅读.m/.c代码理解求解器对接和算法流程，适合入门学习与二次开发。

1. YALMIP-R20210331.zip：你电脑里的优化问题翻译官

我第一次拿到 YALMIP-R20210331.zip 这个文件名时，第一反应是它又是一个 MATLAB 工具包压缩包，但真正用起来才发现，YALMIP 解决的痛点是“建模”而不是“求解”。R20210331 是 2021 年 3 月 31 日发布的版本，在 YALMIP 以日期命名的历史里属于相当稳定的一代：新老 MATLAB 都能带得动，开源求解器接口齐全，很多论文代码默认用到的也是它。你如果要在 MATLAB 里写半定规划、线性矩阵不等式、鲁棒优化，又不想每次都被底层求解器的输入格式折磨，这个 zip 就是给你准备的。它能做的，是把你在纸上写好的数学约束，原样翻译成求解器看得懂的数值模型。

2. 为什么需要 YALMIP，以及 R20210331 这个版本特殊在哪

2.1 从“手推标准形”到“声明式建模”：YALMIP 的价值在哪

直接面对底层求解器是什么体验，我可以用 sedumi 举个例子。sedumi 只接受下面这种标准形式：

min c'*x s.t. A*x = b x >= 0

如果我要解一个带线性矩阵不等式的控制问题，比如A'*P + P*A <= -Q，其中 P 是对称矩阵，那就得先把 P 展开成一个向量，再把矩阵不等式逐项转换成线性等式和不等式，最后还要把解出来的向量重新拼回矩阵。矩阵是 2×2 的时候还能忍，到 5×5、10×10 的时候，手推很容易出错，而且每换一个求解器，这套展开就要重来一遍。

YALMIP 这个名字是 “Yet Another LMI Parser” 的缩写，早期就是专门给线性矩阵不等式做解析的，后来慢慢长成了一个通用的优化建模层。它做的事情说起来很简单：你声明变量、写约束、写目标，它替你把模型编译成底层求解器需要的标准形式。至于内部是怎么做松弛、怎么引入辅助变量、怎么把半定约束拍平成线性等式，这套逻辑对我来说其实是个黑匣子，我用它的第一原则就是：不关心编译细节，只关心数学表达和求解结果。

这种建模方式叫“声明式建模”，和写普通 MATLAB 脚本的思路不太一样。普通脚本里，x = 1是把 1 赋给变量；YALMIP 里，P = sdpvar(2,2,'symmetric')是声明一个 2×2 对称符号变量，之后所有对 P 的加减乘除、比较大小，都在搭一个表达式树，而不是在做数值计算。等到调用optimize的那一刻，YALMIP 才把这棵树拍平成数值模型，交给求解器。

那为什么不用 CVX？这也是我经常被问到的。CVX 同样能做声明式建模，但 YALMIP 在几个点上更顺手：一是对约束对象的管理更细，可以方便地提取对偶变量；二是求解器接口覆盖面更广，从开源 sedumi 到商业 gurobi、mosek 都能切；三是它不限制你只能用凸优化，很多非凸问题也能声明出来丢给 fmincon 这类非线性求解器去试。对于做控制、做调度、做鲁棒优化的工程师来说，这些能力是刚需。

2.2 R20210331 版本：为什么我建议用它来统一环境

YALMIP 没有 1.0、2.0 这种大版本号，它的版本就是发布日期。R20210331 就是 2021 年 3 月 31 日发布的那一版。团队协作时最常见的坑是：你电脑上装的是 2023 年的新版，同事电脑上是 2019 年的老版，同一个模型在两个环境里跑出不一样的结果，然后开始互相怀疑对方的代码改过。这种折腾我经历过太多次，所以现在给团队的建议很直接：统一用 R20210331 当基线，不要追新。

为什么选这个版本而不选最新的？我的判断标准是“被用户踩过的坑足够多”。R20210331 发布时，MATLAB R2018b 到 R2021a 都还在活跃使用，它对这些版本的兼容性经受了大量论文复现和工业代码的检验。我自己在 MATLAB R2019b 和 R2023a 上都跑过同一套 YALMIP-R20210331 代码，结论是核心的 sdpvar、optimize、sdpsettings 行为都很稳定，没有出现老版本常见的奇奇怪怪报错。

这里必须澄清一个很普遍的误解：YALMIP-R20210331.zip 里面没有求解器。它不是“解优化问题的工具箱”，而是“帮你描述优化问题的工具箱”。你用它写出模型，真正算数的是 sedumi、sdpt3、gurobi、cplex 这些底层求解器。安装步骤永远是先解压 YALMIP，再另外装一个求解器，两边都加进 MATLAB 路径，才能干活。这个顺序搞反或者漏掉一步，后面就是无穷无尽的 “No suitable solver” 弹窗。

还有一个版本选择上的现实问题：如果你的 MATLAB 是 2023b 以后，老代码会不会报错？我的经验是概率不大，YALMIP 的核心 API 很多年没大变过，真正出问题的地方往往是 MATLAB 自身的语法变化，比如 string 类型、冒号索引行为。相比之下，R20210331 这种“中年版本”反而比刚发布的新版更让人放心，因为它的兼容性问题基本都被社区问遍了，搜一下就有答案。

2.3 半定约束到底有多麻烦：一个 LMI 带来的直观感受

先看一段极简的 YALMIP 代码，感受一下声明式建模的样子：

A = [-1 0; 0 -2]; Q = eye(2); P = sdpvar(2,2,'symmetric'); cons = [A'*P + P*A <= -Q, P >= 0];

这段代码在数学上描述的是：寻找一个对称正定矩阵 P，使得闭环系统A'*P + P*A负定，也就是李雅普诺夫不等式。在 YALMIP 里，你写的约束和教科书上的公式几乎一一对应。P >= 0在 YALMIP 里对矩阵变量默认解释为“半正定约束”，也就是 P 的所有特征值非负，而不是逐元素比较，这一点非常重要，后面避坑章节我还会专门展开。

如果不用 YALMIP，直接用 sedumi 做这件事，你得先定义 P 的三个独立元素 P11、P12、P22，把A'*P + P*A <= -Q展开成 2×2 的四个不等式，再把矩阵不等式转换成向量的形式，最后还要处理对称约束。这一套下来，光是写对等式就已经很考验耐心了。矩阵规模一大，手推基本等于给自己埋雷。

所以 YALMIP 的定位很清晰：它不抢求解器的饭碗，它当翻译官。把工程师从“手推标准形”的重复劳动里解放出来，让你把精力留在建模本身。R20210331 这个版本，就是把这份翻译工作做得最稳的一版。

3. 安装与验证：把 YALMIP-R20210331.zip 变成能用的工具箱

3.1 装之前先回答三个问题

安装一个 MATLAB 工具箱，最大的风险不是解压失败，而是装完以后 MATLAB 里同时存在几个版本，互相抢路径。所以我每次装 YALMIP，都会先花两分钟回答下面三个问题，省得后面半夜对着莫名其妙的报错发呆。

第一个问题：你的 MATLAB 版本是多少？R20210331 这个版本在 R2018b 及以上的环境里基本没有兼容性问题。如果你还在用 R2014a 这种老古董，那大概率需要找更早的 YALMIP 版本，但这属于特殊情况，常规部署我默认读者手里是近五六年内的 MATLAB。

第二个问题：机器上是否已经装过 YALMIP？在命令窗口执行一次which sdpvar和which optimize，如果返回结果显示在某个旧目录下，说明已经有老版本存在。这时候直接覆盖安装会让 MATLAB 的路径列表里出现同名文件，新版旧版同时在线，谁在前谁生效，完全是看 addpath 的顺序，这种问题排查起来非常难受，还不如先卸干净。

第三个问题：zip 解压到哪里？我的建议是放到一个纯英文的稳定目录，比如D:\tools\。不要放中文路径，MATLAB 对路径里的中文字符支持时好时坏，老版本尤其容易翻车；不要放桌面，更不要放网盘同步目录，YALMIP 文件数量多，网盘实时同步会让 MATLAB 启动扫描路径变慢，极端情况下还会读到写到一半的文件，那种错误根本不是代码的问题。

3.2 解压与加路径：两条命令让 YALMIP 进入工作区

把 zip 解压以后，进入 MATLAB，执行下面这段：

% 把整个 YALMIP 目录树加进搜索路径 addpath(genpath('D:\tools\YALMIP-R20210331')); % 保存路径，避免下次启动又要重加 savepath;

之所以用genpath而不是直接addpath('D:\tools\YALMIP-R20210331')，是因为 YALMIP 的目录结构不是单层的。根目录下还有@sdpvar、@constraint、@optimizer这些类定义目录，以及modules、solvers等子模块。只加根目录，MATLAB 找不到类的构造函数，命令窗口会直接报“未定义函数或变量 sdpvar”。genpath会把所有子目录递归加进去，一次到位。

savepath的作用是把当前路径列表写入 pathdef.m，让下次启动 MATLAB 时自动生效。如果你的机器对 MATLAB 安装目录没有写权限，savepath会返回警告，这时不用慌，在 MATLAB 启动目录里建一个startup.m，把那行addpath(genpath(...))放进去，效果一样。

还有一类情况我必须提一下：如果是在已有旧版 YALMIP 的机器上升级，解压新版本之后、加路径之前，最好先执行清空命令：

yalmip('clear'); clear classes;

yalmip('clear')清的是 YALMIP 内部缓存，clear classes清的是 MATLAB 内存中已经加载的类定义。如果跳过这一步，内存里残留的还是旧版 sdpvar 对象，新路径加进去也覆盖不掉，表现就是代码逻辑明明一样，结果却和新版对不上，非常像玄学。

3.3 验证安装：yalmiptest 还是冒烟测试

路径加好之后，别急着跑大模型，先做一个三秒钟的冒烟测试。YALMIP 自带一个完整的测试套件yalmiptest，但它会把 LP、QP、SDP、SOCP 全都跑一遍，耗时比较长，而且如果没有可用求解器，它会在中途报很多“solver not found”的提示，反而把新手吓到。我一般先跑这个小实验：

% 声明一个 2x2 对称变量 P = sdpvar(2,2,'symmetric'); % 约束：P 半正定且 P >= I cons = [P >= eye(2)]; % 目标：最大化 trace(P)，最优解显然就是 P = I diagnostics = optimize(cons, -trace(P)); if diagnostics.problem == 0 disp(value(P)); else disp(['求解失败，错误码：', num2str(diagnostics.problem)]); end

这段代码的逻辑很直白：如果 YALMIP 和求解器都装好了，那么P >= eye(2)再加上最小化-trace(P)，最优解必然是单位阵。输出里 P 应该是[1 0; 0 1]，可能有非常小的数值误差，比如1.0000001，这是正常的，不用纠结。如果返回的错误码是 7，表示 YALMIP 找不到可用的求解器，那就回去装 sedumi 或 sdpt3，解压后同样用addpath(genpath(...))加进路径，再重新跑这个测试。

到这一步，YALMIP-R20210331 才算是真的能干活了。之后有时间再跑yalmiptest做全面体检，它会列出哪些求解器可用、哪些问题类型测试通过，这份报告对排查“为什么我的模型不能解”非常有参考价值。

4. 用 YALMIP 建模的第一个完整例子：从 sdpvar 到 optimize

4.1 sdpvar 不是 MATLAB 变量：理解声明与表达式树

新手最容易犯的一个错，是把 sdpvar 变量当成普通 MATLAB 变量去理解。P = sdpvar(2,2,'symmetric')之后，你在工作区看到的是一个对象，它的值不是矩阵，而是一个“符号变量声明”。你写P + eye(2)，MATLAB 不会做加法，它是在构建一棵表达式树，记录“有一个叫 P 的符号变量，和一个单位阵相加”这件事。再写P >= eye(2)，它也不是在比较大小，而是在创建一个约束对象。

这个区别在调试时特别关键。你如果在声明约束后立刻执行disp(P)，看到的不是数值矩阵，而是类似 “Matrix2x2 symmetric” 的摘要信息。想提前看某个中间表达式的数值，必须用value()，但前提是变量已经被赋过值，比如执行过assign(P, eye(2))，或者在optimize求解成功之后。

所以建模阶段我一般不急着看变量的值，先看约束有没有写对，模型编译能不能通过，求解器有没有给出可行解。把 YALMIP 当作一门小语言来用，而不是当作数值计算函数来用，这个心理建设越早完成，后面的痛苦越少。

4.2 完整示例：一个带 Lyapunov 不等式的 SDP 从头跑到尾

下面是一个可以直接复制运行的完整例子，用的是控制里最典型的李雅普诺夫不等式验证问题：

% 系统矩阵：一个稳定的二阶系统 A = [-1 0; 0 -2]; Q = eye(2); % 声明对称矩阵变量 P P = sdpvar(2,2,'symmetric'); % 约束：A'*P + P*A 负定，且 P 正定 cons = [A'*P + P*A <= -Q, P >= 0]; % 目标：最小化 P 的迹，相当于找一个尽量“小”的可行解 obj = trace(P); % 指定求解器并求解 options = sdpsettings('solver', 'sedumi', 'verbose', 1); diagnostics = optimize(cons, obj, options); if diagnostics.problem == 0 P_val = value(P); disp('P 的最优解：'); disp(P_val); % 顺手验证约束残差 [res, feasible] = check(cons); disp(['最大约束残差：', num2str(max(res))]); disp(['是否严格可行：', num2str(feasible)]); else disp(['求解失败，错误码：', num2str(diagnostics.problem)]); end

这段代码里，sdpvar(2,2,'symmetric')声明的不是 4 个独立元素，而是 3 个独立变量，分别对应主对角线两个元素和上三角元素，YALMIP 会自动把对称性约束处理好。A'*P + P*A <= -Q是一个矩阵不等式，对于 2×2 的矩阵，它约束的是整个矩阵负定，不是四个元素分别小于 Q。P >= 0同理，是半正定约束。

solve之后，value(P)拿到数值解，check(cons)返回每个约束的残差和可行性标志。如果一切正常，残差应该在1e-7量级以下。这里我有意把verbose设成 1，让求解器的迭代日志打印出来，第一次跑的人可以直观看到 sedumi 内部迭代过程，对理解“求解器到底在算什么”有帮助。如果觉得日志太吵，改回 0 即可。

4.3 sdpsettings 里最常用的四个参数

sdpsettings是 YALMIP 的参数入口，它返回一个结构体，里面嵌套着各求解器的专属字段。我平时用到最多的就四个，列成表方便对照：

solver参数是最常被问到的。YALMIP 默认会根据问题类型自动选求解器，但自动选择不一定最优。比如一个纯线性规划，gurobi 比 sedumi 快很多倍；一个半定规划，gurobi 又处理不了，得用 mosek 或 sdpt3。所以我的习惯是：小问题用默认，大问题和生产环境一定显式指定 solver，避免同一套代码在不同机器上因为可用求解器不同而跑出不同结果。

debug参数专门用来诊断“为什么不可行”。当optimize返回problem=1时，把debug打开，YALMIP 会尝试找出哪些约束最可能导致冲突，并输出更多提示信息，比对着模型瞎猜高效得多。代价是 debug 模式会显著变慢，所以只在认为模型本身可能有矛盾时才开。

还有一个参数经常被忽略但很重要：超时设置。YALMIP 不提供统一的超时字段，不同求解器的参数名不一样，比如 gurobi 是gurobi.TimeLimit，cplex 是cplex.TiLim。如果模型跑起来没完没了，先去查你用的那个求解器对应的超时字段，别在 YALMIP 层翻来翻去找不到。

4.4 value、assign、check：调试模型的三板斧

value、assign、check这三个函数是 YALMIP 调试的黄金组合。value从符号变量里提取数值，assign手动给变量赋一个试探值，check验证约束在当前赋值下是否满足。三个配合起来，可以在不求解的情况下快速判断模型本身是否自洽。

% 先给 P 赋一个已知可行解 assign(P, eye(2)); % 检查所有约束在这个赋值下的残差 [res, feasible] = check(cons); % 查看残差向量 disp(res); disp(feasible);

这个操作的实用场景很常见：求解器返回不可行，但你觉得模型应该没问题。与其猜，不如亲手喂一个可行解进去，看看约束残差有多大。如果残差小到1e-6以下，说明约束本身写对了，问题出在求解器数值收敛上；如果残差非常大，比如某个约束残差是1e3，那大概率是约束方向写反了，比如<写成了>，或者不等式两边符号搞错。

check返回的第一个输出res是每条约束的残差向量，第二个输出feasible是总体可行性标志。残差的正负还有意义：正数表示约束离满足还有多远，负数表示约束被严格满足。我每次调试模型，第一件事就是看res的符号，它能告诉我到底是哪一条约束在捣乱。

5. 避坑指南：YALMIP-R20210331 最常见的 5 个翻车现场

5.1 P>=0 到底是半定还是逐元素？先弄清约束类型

现象：一个理论上肯定有解的模型，求解器返回不可行，或者解出来的矩阵明显不合理。

原因：YALMIP 对“矩阵变量”的>=默认解释为半正定约束，也就是要求矩阵所有特征值非负；但如果你把矩阵变成了向量，比如写了P(:) >= 0，或者只取了diag(P)，约束类型就变成了逐元素约束。逐元素非负和半正定完全是两个概念，前者只约束对角线元素，后者约束的是整个矩阵的谱性质。很多人的代码看起来差不多，结果天差地别，就是这个细节。

解决：用is函数确认约束类型。

% 判断约束到底是半定还是逐元素 is(cons(1), 'sdp'); % 半定约束返回 1 is(cons(1), 'elementwise'); % 逐元素约束返回 1

另外还要记住一个反向规则：如果变量是向量，>=永远是逐元素比较，不存在“向量半定”这种说法。要做半定约束，变量必须是方阵。

5.2 明明有解，optimize 却返回 Infeasible

现象：模型在数学上一定有可行解，你自己都能手算出一个解来，但optimize返回problem=1，控制台提示不可行。

原因：数值缩放问题。YALMIP 底层求解器用的都是浮点数，约束中同时出现1e8和1e-8这样量级悬殊的数时，求解器内部的容差很难同时满足两条约束，于是判定不可行。另一种常见情况是约束本身写成了非凸形式，比如两个变量相乘，YALMIP 不做凸性检查，直接把模型丢给非线性求解器，能不能解出来全看运气，这已经属于玄学范畴。

解决：先做缩放，把变量单位统一到相近数量级；或者换一个数值鲁棒性更好的求解器，比如把 sedumi 换成 sdpt3 或 mosek。还可以先开启 debug 模式看冲突点：

diagnostics = optimize(cons, obj, sdpsettings('debug', 1));

如果 debug 输出没有明确指出哪条约束冲突，那就用第 4 章的做法，手动assign一组可行解，跑check，看是哪条约束的残差拦住了求解器。

5.3 模型里出现 NaN 或 Inf，先查变量初始化

现象：求解器日志里出现 “NaN in constraints”，或者模型编译阶段直接报错，提示表达式里有非数值量。

原因：大部分时候是变量没有正确赋值。比如在目标函数里写了log(P)，但 P 在迭代过程中出现了非正特征值，log算出来直接是 NaN；或者约束用了未初始化的表达式，MATLAB 把它当成普通变量参与运算，结果自然是坏的。还有一种隐蔽情况：脚本文件里一个同名普通变量覆盖了 sdpvar 对象，名字一样、类型不同，后面的表达式全乱套。

解决：把非线性函数先注释掉，跑一个纯线性版本，确认模型框架没问题；再用value(x)查看每个中间变量的数值范围，定位 NaN 是从哪一步冒出来的。脚本开头加一行clear all; yalmip('clear')可以避免同名污染，但要记住，这行不能出现在函数文件里，否则会把整个函数工作区清空。

5.4 No suitable solver：YALMIP 不负责求解

现象：optimize返回problem=7，提示没有合适的求解器。

原因：最常见的是根本没装求解器。YALMIP-R20210331.zip 里只有建模层，不带任何求解器，这是新手最容易踩的坑，装完 YALMIP 就以为万事大吉，一跑才发现查无此求解器。第二类原因是装了求解器，但类型不匹配，比如模型里有半定约束，指定的却是只能处理 LP 和 QP 的 gurobi，YALMIP 会在编译阶段直接拒绝。

解决：先跑一次yalmiptest，它会列出当前环境里所有可用求解器以及各自支持的问题类型。开源环境我一般装 sedumi 和 sdpt3，一个轻量一个重型，覆盖大部分凸优化场景。商业环境考虑 mosek，它在半定规划上的性能明显比开源求解器高一个档次。指定求解器的写法在第 4 章已经给过，就不再重复。

5.5 同一套代码在不同机器上结果不一样

现象：代码完全一致，A 机器上problem=0，B 机器上problem=4（数值问题），或者两边都成功但最优解有肉眼可见的差异。

原因：这个坑和 YALMIP 本身关系不大，更多来自环境差异。MATLAB 版本不同，底层线性代数库 BLAS 的实现不同，某些内置函数的行为也变过，比如旧 MATLAB 里字符串数组和字符数组的区别在 R2021a 之后明显收紧。YALMIP-R20210331 这种老版本碰上太新的 MATLAB，偶尔会触发兼容性问题。

解决：显式指定 solver，不依赖默认；显式设置容差，比如sdpsettings('sedumi.tol', 1e-9)；代码里尽量用 char 数组而不是 string 类型；在脚本开头打印yalmip('version')，日志里留下版本痕迹，排查时能少吵很多架。数值优化本来就会受浮点环境影响，结果是 1.0000001 还是 0.9999999 是正常的，不用纠结；但如果解的结构都变了，那就是版本或求解器差异，值得认真查。

6. 进阶：从能用 YALMIP 到用好 YALMIP

6.1 diagnostics.problem 不等于 0 时怎么看

optimize返回的diagnostics结构体里，problem字段是核心诊断信息。0 表示求解成功；1 表示不可行；2 表示无界；4 表示数值问题；7 表示没有可用求解器。每次模型异常，我第一件事就是打印这个错误码，再决定往哪个方向排查，而不是盯着求解器日志逐行看，那样效率太低。

if diagnostics.problem ~= 0 disp(['求解失败，错误码：', num2str(diagnostics.problem), '，提示：', diagnostics.info]); end

diagnostics.info是 YALMIP 给的文字说明，虽然有时比较笼统，但至少能指个方向。配合前面讲的assign和check，大部分模型问题都能在几分钟内定位。平时写代码，我也会习惯性地在每个optimize调用后面加这个判断，防止某个循环里模型变了导致静默失败，最后拿到一批没意义的数值。

6.2 把模型编译成 optimizer 对象，循环里不再重复建模

另一个我比较推荐的进阶技巧是把模型编译成optimizer对象。普通模式下，每次调用optimize都要重新编译一次模型；但在仿真里，往往只是参数在变，模型结构不变，重复编译纯粹是浪费。

% 声明参数变量 A A = sdpvar(2, 2, 'full'); % 变量和约束 P = sdpvar(2, 2, 'symmetric'); cons = [A'*P + P*A <= -eye(2), P >= 0]; % 编译成优化器对象：输入是 A，输出是 P opt = optimizer(cons, trace(P), sdpsettings('solver', 'sedumi'), A, P); % 在循环里直接调用，不用重新建模 A_test = [-1 0; 0 -2]; [P_sol, problem] = opt{A_test};

optimizer把“建模”和“求解”拆开，建模只做一次，后续每次调用只改变参数重新求解。这个模式在蒙特卡洛仿真、模型预测控制里特别实用，能把总运行时间缩短一大截。需要注意opt{A_test}返回的结果是 cell 数组，P_sol{1}才是 P 的数值矩阵。

我自己现在的习惯是，拿到一个新环境或者一个新版本的 YALMIP，第一件事不是直接跑业务代码，而是先跑一个 3 秒冒烟测试，再跑一个自己领域内有代表性的完整模型，确认建模和求解都没问题后才开始正式工作。YALMIP-R20210331 我用了很久，它不完美，但作为团队基线版本，它是让我最省心的一个选择，希望帮到你。

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