线代真题｜分块矩阵求伴随矩阵
题目
设A,BA,BA,B均为2阶矩阵，A∗,B∗A^*,B^*A∗,B∗分别为A,BA,BA,B的伴随矩阵，若∣A∣=2,∣B∣=3|A|=2,|B|=3∣A∣=2,∣B∣=3，则分块矩阵
M=(0AB0)M=\begin{pmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{pmatrix}M=(0BA0)
的伴随矩阵为（）
(A)(03B∗2A∗0)\begin{pmatrix}0 & 3B^*\\2A^* & 0\end{pmatrix}(02A∗3B∗0)
(B)(02B∗3A∗0)\begin{pmatrix}0 & 2B^*\\3A^* & 0\end{pmatrix}(03A∗2B∗0)
©(02B3A0)\begin{pmatrix}0 & 2B\\3A & 0\end{pmatrix}(03A2B0)
(D)(03B2A0)\begin{pmatrix}0 & 3B\\2A & 0\end{pmatrix}(02A3B0)
答案：B
核心公式
结论1：伴随矩阵定义公式
M∗=∣M∣⋅M−1\boldsymbol{M^*=|M|\cdot M^{-1}}M∗=∣M∣⋅M−1
结论2：分块对角矩阵求逆
(0AB0)−1=(0B−1A−10)\begin{pmatrix}0 & A\\B & 0\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}0 & B^{-1}\\A^{-1} & 0\end{pmatrix}(0BA0)−1=(0A−1B−10)
结论3：方阵求逆与伴随关系：A−1=1∣A∣A∗ ⟹ A∗=∣A∣A−1\boldsymbol{A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^* \implies A^*=|A|A^{-1}}A−1=∣A∣1A∗⟹A∗=∣A∣A−1
分步计算
步骤1：计算分块矩阵MMM的行列式
A,BA,BA,B都是2阶方阵
∣M∣=∣0AB0∣=(−1)2×2∣A∣∣B∣=(−1)4∣A∣∣B∣=∣A∣∣B∣=2×3=6 |M|=\begin{vmatrix}0&A\\B&0\end{vmatrix}=(-1)^{2\times2}|A||B|=(-1)^4|A||B|=|A||B|=2\times3=6∣M∣=0BA0=(−1)2×2∣A∣∣B∣=(−1)4∣A∣∣B∣=∣A∣∣B∣=2×3=6
分块交换行列式符号规则：∣OABO∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\begin{vmatrix}O&A\\B&O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|OBAO=(−1)mn∣A∣∣B∣，m,nm,nm,n是A、B的阶数，这里m=2,n=2m=2,n=2m=2,n=2
步骤2：求MMM的逆矩阵
$$
M^{-1}=
\begin{pmatrix}
0 & A \
B & 0
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
0 & B^{-1} \
A^{-1} & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤3：代入伴随公式M∗=∣M∣M−1M^*=|M|M^{-1}M∗=∣M∣M−1
$$
M^* = 6\cdot
\begin{pmatrix}
0 & B^{-1} \
A^{-1} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 6B^{-1}\
6A^{-1} & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤4：用A∗=∣A∣A−1A^*=|A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1替换逆矩阵
A∗=∣A∣A−1=2A−1 ⟹ A−1=12A∗A^*=|A|A^{-1}=2A^{-1} \implies \boldsymbol{A^{-1}=\dfrac12 A^*}A∗=∣A∣A−1=2A−1⟹A−1=21A∗
B∗=∣B∣B−1=3B−1 ⟹ B−1=13B∗B^*=|B|B^{-1}=3B^{-1} \implies \boldsymbol{B^{-1}=\dfrac13 B^*}B∗=∣B∣B−1=3B−1⟹B−1=31B∗
代入：
6B−1=6⋅13B∗=2B∗ 6B^{-1}=6\cdot \frac13 B^*=2B^*6B−1=6⋅31B∗=2B∗
6A−1=6⋅12A∗=3A∗ 6A^{-1}=6\cdot \frac12 A^*=3A^*6A−1=6⋅21A∗=3A∗
得到：
M∗=(02B∗3A∗0) M^*=\begin{pmatrix} 0 & 2B^*\\ 3A^* & 0 \end{pmatrix}M∗=(03A∗2B∗0)
对应选项B。
易错点总结
- 分块矩阵(OABO)\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}(OBAO)求逆，不是直接(O,A−1B−1,O)\begin{pmatrix}O,A^{-1}\\B^{-1},O\end{pmatrix}(O,A−1B−1,O)，A、B位置互换！
- 行列式符号(−1)mn(-1)^{mn}(−1)mn，m,nm,nm,n是两个子矩阵的阶数，不要忘记这个(−1)(-1)(−1)幂次。
- A∗A^*A∗和A−1A^{-1}A−1的转换：A∗=∣A∣A−1A^*=|A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1是这道题的核心桥梁。
速记结论
(OABO)∗=(O∣A∣B∗∣B∣A∗O) \boldsymbol{\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}^* =\begin{pmatrix}O & |A|B^*\\|B|A^* & O\end{pmatrix}}(OBAO)∗=(O∣B∣A∗∣A∣B∗O)
模式)
