--非线性滤波器)
本文已整理到我的个人博客，之后的勘误与更新只在博客进行：Image Denoise : 非线性滤波器 | Finn's blog
1.非线性处理与线性处理的区别
上一篇博文的内容，是关于均值滤波器的。比如说像算术均值滤波器，几何均值滤波器。这以类型的滤波器的常常被用于剔除某些不需要的频率成分，或者选择需要的频率成分，从而达到去噪的目的。这样的滤波器，被称为线性滤波器。
然而，还有一些特殊滤波器，他们被称为非线性滤波器。其代表为中央值滤波器。所谓中央值滤波器，就是将一定范围内的数据(对于图像而言，是像素的灰度值)进行排序，选择中央值作为滤波器的输出。
中央值滤波器的目的并不是频率成分的选择，而是求root信号。关于root信号的定义，[文献1]中是这样给出的。
------------------------
定义：对于任意信号，使用中央值滤波器进行有限次处理，直到所得到的限号不变为止。中央值滤波器处理前后，如果这个信号列没有任何变化，那么将这个信号列称为这个滤波器的root信号。
------------------------
对于中央值滤波器来讲，可以完美去除被椒盐噪声污染的root信号。对于root信号，有如下的性质。对于以下定理的证明与详细说明，请参考[文献2][文献3]。
=============
定理1：如果信号列{x(i)}是单调递增或单调递减的，那么对于任何尺寸的中央值滤波器，这个信号列都是root信号。
定理2：如果信号列{x(i)}是在从i开始的m个信号之间的局部单调信号的话，那么对于尺寸为N=2M+1(M<=m-2)的中央值滤波器，这样的信号为这个滤波器的root信号。
=============
2.几个典型的非线性滤波器
2.1 中央值滤波器 (Median Filter)
正如第一节所叙述的，中央值滤波器可以有效去除椒盐噪声，并且不会使得图像模糊。我们将一副图像染上椒盐噪声，然后使用不同尺寸的中央值滤波器去进行处理。所得的结果的画质使用SSIM去评价。
首先，将图像染上盐粒密度为0.15，胡椒密度为0.15的椒盐噪声，使用3x3,5x5,7x7和9x9四种不同尺寸的中值滤波器去处理图像。所得到的结果，如下表所示。
由上图所示，可以看出，所用滤波器尺寸不同，得到的结果是不同的，尺寸较大的滤波器得到了不太好的结果。随着循环次数的增加，图像的SSIM逐渐变化，最后趋近于稳定。下面是循环次数为30时候，4种尺寸滤波器得到的结果。
为了验证噪声与实验结果的影响，将图像染上盐粒密度为0.35，胡椒密度为0.35的椒盐噪声，在进行滤波实验，可以得到如下曲线。
实验结果给出，尺寸较小的的中值滤波器，其收敛到root信号较为缓慢，其次，对于高噪声的图像，其修复结果是不太好的。
总结上述实验，可以得到三个有用的结论。
1.中央值滤波器在处理过程中，不断在寻找root信号。反复数回之后，其结果收敛，基本不改变。
2.对于不同的图像，不同的噪声，最适合本幅图像的中央值滤波器的尺寸是不同的。并不是尺寸越小越好。
3.尺寸小的滤波器，收敛速度慢。反之，尺寸大的滤波器，收敛较快。
2.2 自适应中央值滤波器
我们要很好的使用中央值滤波器，只有一个要点！就是找一个最适合的滤波器尺寸，使得原图就是这个滤波器的root信号，那么，就可以得到一个完美的结果（当然，最适合的滤波器是不存在的）。那么，这里就可以有个想法了，在执行滤波器操作的时候，尽可能多的尝试各种尺寸，选择一个最适合的，让原图很接近这个尺寸的滤波器的root信号。这样的话，就可以得到一个不错的结果了。
当然，之对于椒盐噪声的话，还可以加入这样一个功能，由于噪声的灰度值是已知的(盐粒噪声为1，胡椒噪声0)，那么只有当中央值不是0或者1的时候，滤波器生效，否则，扩大滤波器尺寸。
归纳上述思想，可以得到如下的伪代码。
START: S_xy = read(f(x,y),[size_S_xy]); z_min = min(S_xy); z_max = max(S_xy); z_med = median(S_xy); LOOP A : A_1 = z_med - z_min; A_2 = z_med - z_max; if ((A_1 >0) and (A_2 < 0)) goto LOOP B; else size_S_xy++; goto START; if (size_S_xy <= size_max) g(x,y) = z_med; goto NEXT; LOOP B : B_1 = f(x,y) - z_min; B_2 = f(x,y) - z_max; if ((B_1 >0) and (B_2 < 0)) g(x,y) = f(x,y) ; goto NEXT; else g(x,y) = z_med; goto NEXT; NEXT : x,y移动到下一个像素点 if (x > x_max)and(y>y_max) return; else goto START;来看看这个滤波器的效果，将图像加一个很强的噪声椒盐噪声。盐粒密度为0.3，胡椒密度为0.3。同时将同样的图像，使用5x5的中央值滤波器。两个滤波器的不同，还是很容易看出来的。
2.3 最大值滤波器与最小值滤波器
由于这个很简单，结果就不贴了。
2.4 中点滤波器(midpoint filter)
中点滤波器，糅合了均值滤波器和非线性的排序处理。这样的滤波器对于去除高斯噪声与均匀噪声有很好的效果。
我们使用这个滤波器，与平均滤波器做个比较吧。其结果显示在下图。
图片上，纵轴表示画质SSIM，横轴表示噪声的方差。绿线表示中点滤波器，红线表示算术滤波器。可以看出，均匀噪声上，中点滤波器的性能还是优于算术平均滤波器的。(当然，这可能跟选用的评价图像有关，但是基本是这个趋势)。
2.4 修正的阿尔法均值滤波器
这样的滤波器，很擅长去除椒盐噪声与其他类型噪声一起污染过的图片。依然是实验，首先将图片染上盐粒密度为0.1，胡椒密度为0.1的椒盐噪声。然后，再将这幅图像染上高斯噪声。在将图片进行去噪。得到的结果如下所示。
可以出，对于复数的噪声，这样的滤波器的效果是最好的。
3.自适应中值滤波器的Matlab代码
由于本次代码都比较简单，主要是概念上的理解，所以，代码我也就贴个自适应滤波器的代码就完事吧！
%% ------------Adaptive median filter-------------------- close all; clear all; clc; f = imread('./ckt-board-orig.tif'); f = mat2gray(f,[0 255]); [M,N] = size(f); % ----------------noise---------- b = 0.3; %salt a = 0.3; %pepper x = rand(M,N); g_sp = f; g_sp(find(x<=a)) = 0; g_sp(find(x > a & x<(a+b))) = 1; figure(); subplot(1,2,1); imshow(g_sp,[0 1]); xlabel('a).Image corrupted by S&P noise'); subplot(1,2,2); x = linspace(-0.2,1.2,358); h = hist(g_sp,x)/(M*N); Histogram = zeros(358,1); for y = 1:256 Histogram = Histogram + h(:,y); end bar(-0.2:1/255:1.2,Histogram); axis([-0.2 1.2 0 0.04]),grid; xlabel('b).The Histogram of a'); ylabel('Number of pixels'); [SSIM_g mssim] = ssim_index(f,g_sp,[0.01 0.03],ones(8),1); %% Adaptive median filter S_xy = zeros(3,3); z_min = 1; z_max = 0; z_med = 0; S_max = 7; w = zeros(S_max,S_max); w(round(S_max/2),round(S_max/2)) = 1; g_Ex = imfilter(g_sp,w,'symmetric','full'); g_Admf = zeros(M,N); S = 3; for x = 4:M+3 for y = 4:N+3 % A for S = 3:2:S_max S_xy = zeros(S,S); for s = 1:1:S for t = 1:1:S S_xy(s,t) = g_Ex(x+s-round(S/2),y+t-round(S/2)); end end z_min = min(S_xy(:)); z_max = max(S_xy(:)); z_med = median(S_xy(:)); A_1 = z_med - z_min; A_2 = z_med - z_max; if ((A_1>0)&&(A_2<0)) % B B_1 = g_Ex(x,y) - z_min; B_2 = g_Ex(x,y) - z_max; if((B_1>0)&&(B_2<0)) g_Admf(x-3,y-3) = z_med;break; else g_Admf(x-3,y-3) = z_med; break; end end if(S >= S_max) g_Admf(x-3,y-3) = z_med; break; end end end end figure(); subplot(1,2,1); imshow(g_Admf,[0 1]); xlabel('c).Ruselt of denoise by Adaptive median filter'); subplot(1,2,2); x = linspace(-0.2,1.2,358); h = hist(g_Admf,x)/(M*N); Histogram = zeros(358,1); for y = 1:256 Histogram = Histogram + h(:,y); end bar(-0.2:1/255:1.2,Histogram); axis([-0.2 1.2 0 0.04]),grid; xlabel('d).The Histogram of a'); ylabel('Number of pixels'); [SSIM_g_Admf mssim] = ssim_index(f,g_Admf,[0.01 0.03],ones(8),1);下一篇博文，会说到去卷积处理。
参考文献
[文献1]非線形ディジタル信号処理 ,棟安実治 ・田口亮 著,システム制御情報学会,朝倉書店,1999年03月20日
[文献2]Tyan, S. G. "Median filtering: Deterministic properties."Two-Dimensional Digital Signal Prcessing II. Springer Berlin Heidelberg, 1981. 197-217.
[文献3]Gallagher Jr N C, Wise G L. A theoretical analysis of the properties of median filters[J]. Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on, 1981, 29(6): 1136-1141.
原文发于博客：zhoufan900428-CSDN博客
=============更新日志===================
2014 - 7 - 17 修正了一些格式错误
