高数题目：等价无穷小求参数09p2

高数题目：等价无穷小求参数

题目

当x→0x \to 0x→0时，f(x)=x−sin⁡axf(x) = x - \sin axf(x)=x−sinax与g(x)=x2ln⁡(1−bx)g(x) = x^2 \ln(1 - bx)g(x)=x2ln(1−bx)是等价无穷小，则（）
(A)a=1,b=−16a=1,b=-\dfrac16a=1,b=−61​
(B)a=1,b=16a=1,b=\dfrac16a=1,b=61​
©a=−1,b=−16a=-1,b=-\dfrac16a=−1,b=−61​
(D)a=−1,b=16a=-1,b=\dfrac16a=−1,b=61​

等价无穷小定义：lim⁡x→0f(x)g(x)=1\boldsymbol{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)} = 1}x→0lim​g(x)f(x)​=1

前置知识点（小白必记）

1. sin⁡u=u−u36+o(u3)\boldsymbol{\sin u = u - \dfrac{u^3}{6}+o(u^3)}sinu=u−6u3​+o(u3)（麦克劳林展开，u→0u\to0u→0）
2. ln⁡(1+u)∼u(u→0)\boldsymbol{\ln(1+u)\sim u \quad(u\to0)}ln(1+u)∼u(u→0)，也就是ln⁡(1−bx)∼−bx, x→0\ln(1-bx)\sim -bx,\ x\to0ln(1−bx)∼−bx,x→0
3. 等价无穷小替换规则：乘除可以直接替换，加减不能随便替换，这里用泰勒展开最稳妥

步骤1：分别做展开/等价替换

先处理分母g(x)g(x)g(x)：
g(x)=x2ln⁡(1−bx)∼x2⋅(−bx)=−bx3 g(x)=x^2\ln(1-bx) \sim x^2\cdot(-bx) = -b x^3g(x)=x2ln(1−bx)∼x2⋅(−bx)=−bx3
g(x)g(x)g(x)是3阶无穷小，所以f(x)=x−sin⁡axf(x)=x-\sin axf(x)=x−sinax也必须是3阶无穷小。

对sin⁡ax\sin axsinax泰勒展开：
sin⁡ax=ax−(ax)36+o(x3) \sin ax = ax - \dfrac{(ax)^3}{6}+o(x^3)sinax=ax−6(ax)3​+o(x3)
f(x)=x−sin⁡ax=x−[ax−a3x36+o(x3)]=(1−a)x+a36x3+o(x3) \begin{aligned} f(x) &= x-\sin ax \\ &= x - \left[ax - \dfrac{a^3x^3}{6}+o(x^3)\right] \\ &= (1-a)x + \dfrac{a^3}{6}x^3 + o(x^3) \end{aligned}f(x)​=x−sinax=x−[ax−6a3x3​+o(x3)]=(1−a)x+6a3​x3+o(x3)​

如果1−a≠01-a\neq01−a=0，那么f(x)f(x)f(x)是1阶无穷小，和g(x)g(x)g(x)的3阶不可能等价，所以必须让一次项系数等于0：
1−a=0 ⟹ a=1 1-a = 0 \implies \boldsymbol{a=1}1−a=0⟹a=1

代入a=1a=1a=1：
f(x)=0⋅x+136x3+o(x3)=16x3+o(x3) f(x) = 0\cdot x + \dfrac{1^3}{6}x^3 + o(x^3) = \dfrac16 x^3 + o(x^3)f(x)=0⋅x+613​x3+o(x3)=61​x3+o(x3)

步骤2：利用等价无穷小极限=1

lim⁡x→0f(x)g(x)=lim⁡x→016x3−bx3=16−b=1 \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to0}\frac{\dfrac16 x^3}{-b x^3} =\frac{\dfrac16}{-b}=1x→0lim​g(x)f(x)​=x→0lim​−bx361​x3​=−b61​​=1
解方程：
1−6b=1 ⟹ −6b=1 ⟹ b=−16 \frac{1}{-6b}=1 \implies -6b=1 \implies \boldsymbol{b=-\dfrac16}−6b1​=1⟹−6b=1⟹b=−61​

得到：a=1, b=−16a=1,\;b=-\dfrac16a=1,b=−61​，选A

易错点总结

1. 不要直接对x−sin⁡axx-\sin axx−sinax随便等价！加减形式无穷小不能直接替换，优先泰勒展开；
2. 注意ln⁡(1−bx)∼−bx\ln(1-bx)\sim -bxln(1−bx)∼−bx，这里自带负号，很多同学符号算错直接选B；
3. 先判断阶数：g(x)g(x)g(x)是x3x^3x3量级，所以f(x)f(x)f(x)的一次项必须消掉，是突破口；
4. 麦克劳林公式sin⁡u=u−u36\sin u=u-\dfrac{u^3}{6}sinu=u−6u3​一定要背熟。

验算

a=1,b=−16a=1,b=-\dfrac16a=1,b=−61​
g(x)∼−bx3=−(−16)x3=16x3g(x)\sim -bx^3 = -(-\dfrac16)x^3=\dfrac16x^3g(x)∼−bx3=−(−61​)x3=61​x3
f(x)=x−sin⁡x∼16x3f(x)=x-\sin x\sim \dfrac16 x^3f(x)=x−sinx∼61​x3，两者等价 ✔