22、IIR滤波器的逐步设计

IIR滤波器的逐步设计

1. 引言

滤波器的幅度响应是相对于频率来表示的，因此这些滤波器也被称为频率选择性滤波器。模拟滤波器的系统传递函数用 $H(s)$ 表示，其中 $s = σ + jΩ$，$Ω$ 是连续时间角频率。模拟滤波器的频率传递函数 $H(jΩ)$ 是通过在 $s$ 平面上沿频率轴计算系统函数 $H$ 得到的，即 $H(jΩ) = H(s)|_{s = jΩ}$。滤波器的幅度平方响应 $|H(jΩ)|^2$（功率传递特性）如下所示。

2. 模拟原型滤波器

在数字信号处理（DSP）广泛应用之前，高性能的频率选择性滤波器需要用模拟电子电路来设计。DSP 使得一类新的滤波器——线性相位有限脉冲响应（FIR）滤波器得以发展，而这类滤波器没有模拟电子电路的对应形式。模拟滤波器的数字版本可以用比同类 FIR 滤波器更低的阶数（更少的系数）来实现某些滤波特性。经典模拟滤波器的数字对应版本都是无限脉冲响应（IIR）设计。

2.1 巴特沃斯滤波器预览

低通巴特沃斯滤波器的幅度平方 - 频率响应具有以下特征，需要注意的是，巴特沃斯滤波器的极点位于圆上。
[|H(Ω)|^2 = \frac{1}{1 + (\frac{Ω}{Ω_p})^2N}]
其中，$N$ 是滤波器的阶数，$Ω_p$ 是低通滤波器的 3 - dB 截止频率（对于归一化原型滤波器，$Ω_p$ 始终等于 1）。典型巴特沃斯低通滤波器的幅度 - 频率响应如图 10.1(a) 所示，在通带和阻带中都是单调的。由于其初始的平坦性（在直流处斜率为零），该响应被称为最大平坦响应。

巴特沃斯多项式可以通过以下公式确定：
[(\frac{Ω}