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(1) 基于柯西变异与非线性权重的改进蜉蝣算法及圆度误差评定应用
蜉蝣优化算法是一种模拟蜉蝣群体行为的群智能优化方法，通过雄性蜉蝣的飞行觅食行为和雌雄蜉蝣的交配繁殖行为实现全局搜索。在标准蜉蝣算法中，雄性蜉蝣的位置更新受到自身历史最优位置和全局最优位置的双重引导，通过惯性权重、认知系数和社会系数三个参数调节搜索过程中的探索与开发平衡。雌性蜉蝣向对应的雄性蜉蝣靠近，实现种群的信息交流。两性蜉蝣通过交配产生后代，后代继承亲本的优良特征并引入随机变异以维持种群多样性。
然而，标准蜉蝣算法在求解某些复杂优化问题时存在早熟收敛和局部最优陷阱的问题。当种群快速向当前最优解聚集时，会丧失搜索多样性，难以跳出局部极值区域继续探索更优的解空间。针对这一不足，引入柯西变异算子对算法进行改进。柯西分布是一种具有长尾特性的概率分布，其产生的随机数有较大概率取得远离均值的极端值，这一特性非常适合用于逃逸局部最优。在算法运行过程中，对全局最优个体执行柯西变异操作，以一定概率产生偏离当前位置较远的新位置，如果新位置的适应度更好则接受更新，否则保持原位置不变。
非线性惯性权重策略是另一项重要改进。惯性权重控制着蜉蝣运动的保持程度，较大的权重使蜉蝣倾向于保持原有运动趋势，有利于全局探索；较小的权重使蜉蝣更易改变运动方向，有利于局部精细搜索。标准算法采用线性递减的权重策略，但这种简单的线性变化无法很好地适应不同优化阶段的需求。改进算法设计了基于迭代比例的非线性权重函数，在迭代初期权重下降缓慢以充分进行全局搜索，在中期权重快速下降以加速收敛，在后期权重趋于稳定以进行精细开发。这种非线性变化规律更符合优化过程的实际需求。
圆度误差评定是机械加工质量检测的重要内容，目标是从测量点数据中确定被测圆的最小包容圆和最大内切圆，两者半径之差即为圆度误差。最小区域圆法是国际标准推荐的评定方法，其数学本质是一个非线性minimax优化问题，传统算法难以快速准确求解。将改进蜉蝣算法应用于圆度误差评定，优化变量为评定圆的圆心坐标，目标函数为各测量点到圆心距离的极差。算法通过迭代搜索找到使极差最小的最优圆心位置，从而得到最小区域圆度误差值。
在具体实现中，针对圆度误差评定问题的特点进行了算法适配。初始化阶段采用最小二乘法估计的圆心作为种群中心，在其附近生成初始种群，保证初始解具有一定质量。评价函数计算各测量点到当前圆心的距离，取最大距离与最小距离之差作为适应度值。为了加速收敛，在迭代后期增加了局部搜索环节，对当前最优解在小邻域内进行精细搜索。实验选取了多个不同测点数量和误差分布的标准测试案例，结果表明改进蜉蝣算法能够快速准确地求得圆度误差评定结果，相比遗传算法和粒子群算法在求解速度和精度方面均具有优势。
(2) 基于Piecewise映射与动态权重的蜉蝣算法改进策略
种群初始化质量对群智能优化算法的性能具有重要影响。高质量的初始种群不仅分布均匀覆盖整个搜索空间，还能包含一些接近最优解的个体，从而加速算法的收敛过程。标准蜉蝣算法采用简单的均匀随机初始化方法，这种方法在高维搜索空间中难以保证均匀覆盖，容易出现聚集或空白区域。Piecewise映射是一种具有良好遍历性和均匀性的混沌映射，将其引入种群初始化可以显著改善初始解的分布质量。
Piecewise映射的迭代公式具有分段线性的特点，参数选择不同会产生不同的混沌序列特性。通过合理设置参数，Piecewise映射能够生成在零到一区间内准均匀分布的混沌序列。将该序列线性映射到各维变量的取值范围内，即可得到初始种群的位置坐标。与伪随机数初始化相比，混沌初始化产生的种群分布更加均匀，能够更好地覆盖搜索空间，为后续优化过程提供良好的起点。此外，混沌序列的确定性特征也便于算法的复现和调试。
动态惯性权重因子的设计基于Sigmoid函数进行。Sigmoid函数是一种S型曲线，具有光滑、单调和有界的特性，其输出值在零到一之间连续变化。通过对标准Sigmoid函数进行变换和平移，构造出适用于惯性权重调节的变化曲线。具体而言，设计的权重函数在迭代初期取接近最大值的较大权重，随着迭代进行逐渐减小，在中期呈现快速下降趋势，在后期趋于最小值并保持稳定。这种变化规律相比线性递减更加灵活，能够在不同优化阶段自适应调节探索与开发的比例。
为了进一步增强算法跳出局部最优的能力，设计了基于适应度方差的重启机制。种群适应度方差反映了当前种群的多样性程度，方差越小说明个体越相似，种群趋于收敛或陷入局部最优。当检测到连续若干代的适应度方差低于预设阈值时，触发重启操作。重启时保留当前的全局最优解和少量精英个体，其余个体重新使用Piecewise映射进行初始化。这种机制能够在算法早熟收敛时及时恢复种群多样性，给予算法重新探索的机会。
改进算法在二十三个标准基准测试函数上进行了全面验证，这些函数涵盖了单峰函数、多峰函数、固定维多峰函数等多种类型，能够从不同角度评估算法的全局搜索能力、局部开发能力和收敛速度。实验设置与多种经典和先进的优化算法进行对比，包括粒子群算法、遗传算法、灰狼算法、鲸鱼算法等。结果表明，改进的蜉蝣算法在大多数测试函数上取得了最优或次优的求解结果，特别是在高维多峰函数上表现突出，证明了Piecewise初始化和动态权重策略的有效性。
此外，还将改进算法应用于两个实际工程优化问题：压力容器设计优化和焊接梁设计优化。压力容器问题是一个带有四个约束条件的四变量优化问题，目标是最小化容器的制造成本。焊接梁问题是一个带有七个约束条件的四变量优化问题，目标是最小化焊接梁的总成本。这两个问题都具有复杂的非线性约束，对优化算法提出了较高的要求。改进蜉蝣算法采用罚函数法处理约束条件，实验结果显示算法能够找到满足所有约束的可行解，且目标函数值优于多数对比算法报告的最佳结果。
(3) 多策略融合蜉蝣算法设计及化工动态优化问题求解
化工动态优化问题是化学工程领域的重要研究内容，涉及反应器操作、分离过程控制、聚合反应优化等众多应用场景。这类问题的特点是优化变量为时变的控制曲线而非固定的参数值，需要确定整个操作周期内控制变量随时间变化的最优轨迹。由于控制变量的函数特性，化工动态优化问题本质上是无穷维优化问题，传统方法难以直接处理，通常需要借助离散化技术将其转化为有限维问题进行求解。
控制向量参数化方法是处理化工动态优化问题的常用技术。该方法将连续的控制时域划分为若干子区间，在每个子区间内假设控制变量为常值或简单的多项式函数，从而将无穷维的控制轨迹转化为有限个参数。参数化后的问题变为常规的非线性规划问题，可以使用各种优化算法进行求解。参数化精度与子区间的划分数目相关，划分越细则近似精度越高，但计算量也相应增加，需要在精度和效率之间进行权衡。
多策略蜉蝣优化算法针对化工动态优化问题的特点进行了专门设计。第一个策略是混沌交叉因子的引入。在蜉蝣交配产生后代的过程中，交叉因子决定了后代继承父母双方特征的比例。标准算法使用固定的交叉因子，而改进算法引入Tent混沌映射产生动态变化的交叉因子，使后代个体在不同位置继承不同比例的父母信息，增加了繁殖过程的随机性和后代的多样性。
第二个策略是中心游移机制。在每次迭代中计算当前种群的质心位置，然后以质心为参考点对部分个体进行位置调整。具体做法是随机选择若干个体，将其位置向质心方向移动一个随机步长，或者向远离质心的方向移动。这种双向的游移操作既能促进种群向有希望的区域聚集，又能保持对周围区域的探索，是一种平衡收敛性和多样性的有效手段。
第三个策略是边界邻域修正。当个体位置超出搜索空间边界时，简单的边界截断处理会导致个体聚集在边界附近，降低搜索效率。边界邻域修正策略不是简单地将越界位置拉回边界，而是在边界附近的邻域内随机生成新位置。这样处理既保证了位置的可行性，又维持了边界区域的探索活跃度，有利于发现位于边界附近的最优解。
function [bestSol, bestFit, convergence] = ImprovedMOA(objFunc, dim, lb, ub, maxIter, popSize) nMale = floor(popSize / 2); nFemale = popSize - nMale; malePos = piecewiseInit(nMale, dim, lb, ub); femalePos = piecewiseInit(nFemale, dim, lb, ub); maleVel = zeros(nMale, dim); femaleVel = zeros(nFemale, dim); maleFit = evaluatePopulation(malePos, objFunc); femaleFit = evaluatePopulation(femalePos, objFunc); malePbest = malePos; malePbestFit = maleFit; [gbestFit, gbestIdx] = min(maleFit); gbest = malePos(gbestIdx, :); convergence = zeros(1, maxIter); g = 0.8; gdamp = 0.99; a1 = 1.0; a2 = 1.5; a3 = 1.5; beta = 2.0; fl = 0.5; for iter = 1:maxIter w = sigmoidWeight(iter, maxIter, 0.9, 0.4); for i = 1:nMale if maleFit(i) < gbestFit r1 = rand(1, dim); r2 = rand(1, dim); maleVel(i,:) = g * maleVel(i,:) + a1 * exp(-beta * 0) .* r1 .* (malePbest(i,:) - malePos(i,:)) + a2 * exp(-beta * 0) .* r2 .* (gbest - malePos(i,:)); else dist = norm(malePos(i,:) - gbest); r = rand(1, dim); maleVel(i,:) = g * maleVel(i,:) + a3 * exp(-beta * dist^2) .* r .* (gbest - malePos(i,:)); end malePos(i,:) = malePos(i,:) + maleVel(i,:); malePos(i,:) = boundaryRepair(malePos(i,:), lb, ub); end for i = 1:nFemale rmf = norm(femalePos(i,:) - malePos(mod(i-1, nMale)+1,:)); if femaleFit(i) > maleFit(mod(i-1, nMale)+1) r = rand(1, dim); femaleVel(i,:) = g * femaleVel(i,:) + a2 * exp(-beta * rmf^2) .* r .* (malePos(mod(i-1, nMale)+1,:) - femalePos(i,:)); else femaleVel(i,:) = g * femaleVel(i,:) + fl * rand(1, dim) .* (2 * rand(1, dim) - 1); end femalePos(i,:) = femalePos(i,:) + femaleVel(i,:); femalePos(i,:) = boundaryRepair(femalePos(i,:), lb, ub); end maleFit = evaluatePopulation(malePos, objFunc); femaleFit = evaluatePopulation(femalePos, objFunc); for i = 1:nMale if maleFit(i) < malePbestFit(i) malePbest(i,:) = malePos(i,:); malePbestFit(i) = maleFit(i); end end offspring = crossover(malePos, femalePos, nMale + nFemale); offspring = mutation(offspring, lb, ub, iter, maxIter); offFit = evaluatePopulation(offspring, objFunc); [combinedPos, combinedFit] = eliteSelection([malePos; femalePos; offspring], [maleFit; femaleFit; offFit], popSize); malePos = combinedPos(1:nMale, :); femalePos = combinedPos(nMale+1:end, :); maleFit = combinedFit(1:nMale); femaleFit = combinedFit(nMale+1:end); [minFit, minIdx] = min(maleFit); if minFit < gbestFit gbestFit = minFit; gbest = malePos(minIdx, :); end if rand < 0.1 mutantPos = gbest + tan(pi * (rand(1, dim) - 0.5)) * (1 - iter/maxIter); mutantPos = boundaryRepair(mutantPos, lb, ub); mutantFit = objFunc(mutantPos); if mutantFit < gbestFit gbestFit = mutantFit; gbest = mutantPos; end end g = g * gdamp; convergence(iter) = gbestFit; end bestSol = gbest; bestFit = gbestFit; end function pos = piecewiseInit(n, dim, lb, ub) pos = zeros(n, dim); P = 0.4; x = rand; for i = 1:n for j = 1:dim if x < P x = x / P; elseif x < 0.5 x = (x - P) / (0.5 - P); elseif x < 1 - P x = (1 - P - x) / (0.5 - P); else x = (1 - x) / P; end pos(i, j) = lb(j) + x * (ub(j) - lb(j)); x = pos(i, j) / (ub(j) - lb(j) + 1e-10); end end end function w = sigmoidWeight(iter, maxIter, wmax, wmin) k = 10; x = (iter - maxIter/2) / (maxIter/k); sigmoid = 1 / (1 + exp(-x)); w = wmax - (wmax - wmin) * sigmoid; end function pos = boundaryRepair(pos, lb, ub) for j = 1:length(pos) if pos(j) < lb(j) || pos(j) > ub(j) pos(j) = lb(j) + rand * (ub(j) - lb(j)); end end end function fitness = evaluatePopulation(pop, objFunc) n = size(pop, 1); fitness = zeros(n, 1); for i = 1:n fitness(i) = objFunc(pop(i, :)); end end function offspring = crossover(males, females, nOff) [nMale, dim] = size(males); nFemale = size(females, 1); offspring = zeros(nOff, dim); for i = 1:nOff p1 = males(randi(nMale), :); p2 = females(randi(nFemale), :); L = rand(1, dim); offspring(i, :) = L .* p1 + (1 - L) .* p2; end end function pop = mutation(pop, lb, ub, iter, maxIter) [n, dim] = size(pop); mutRate = 0.1 * (1 - iter / maxIter); for i = 1:n if rand < mutRate j = randi(dim); pop(i, j) = lb(j) + rand * (ub(j) - lb(j)); end end end function [selPos, selFit] = eliteSelection(pos, fit, n) [sortedFit, idx] = sort(fit); selPos = pos(idx(1:n), :); selFit = sortedFit(1:n); end成品代码50-200，定制300起，可以直接沟通
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