2026美赛MCM/ICM C题与星共舞数据分析附思路和Matlab参考代码

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🔥 内容介绍

《与星共舞》是一档国际电视节目 IP 的美国版，原版为英国经典节目《舞动奇迹》（前身为《欢乐起舞》）。该节目的改编版本已在阿尔巴尼亚、阿根廷、澳大利亚、中国、法国、印度等多个国家推出。本次问题的研究核心为该节目的美国版，目前该版本已完成 34 季的播出。

节目中，明星嘉宾会与专业舞者组成搭档，每周进行舞蹈表演。专业评委团会为每组搭档的表演打分，观众则可通过电话或线上渠道，为自己当周喜爱的搭档投票。观众每周可投票一次或多次，投票次数不设限但不得超过节目组当周公布的上限。此外，观众投票仅能为希望留任的明星助力，无法直接投票淘汰某位明星。节目组会结合评委打分与观众投票的结果，决出当周需要淘汰的搭档 —— 即综合得分最低的一组。最终会有三组搭档晋级总决赛（部分赛季的晋级名额更多），总决赛当周，节目组将依据观众投票与评委打分的综合得分，为晋级搭档排出冠亚季军（或前四、前五名）。

评委打分与观众投票的结果融合方式有多种。该节目美国版前两季采用排名法结合两项结果，而第二季的一起争议事件（知名球星杰瑞・莱斯尽管评委打分常年偏低，却仍晋级总决赛），促使节目组对融合规则做出调整，改用百分比法替代排名法。这两种计算方式的具体示例见附录。

第二十七季，节目再度引发争议：名人选手鲍比・博恩斯虽评委打分始终处于低位，却最终夺冠。为回应此次争议，从第二十八季开始，节目组对淘汰流程稍作修改：先根据评委打分与观众投票的综合结果选出排名末两位的搭档，再在直播节目中由评委投票决定淘汰其中哪一组。大约在同一季，制作方还恢复了前两季采用的排名法，将评委打分与观众投票结果结合。这一规则调整的具体赛季尚无确切记载，但合理推测为第二十八季。

评委打分本应客观体现舞者的专业技术水平，但其评判标准仍存在一定的主观性。观众投票的主观性则更强，投票倾向不仅受舞蹈表演质量的影响，还与明星嘉宾的人气和个人魅力密切相关。事实上，节目组在一定程度上更乐见评委与观众的意见、投票结果出现分歧，因为这类争议能大幅提升观众的关注与参与热情。

本文提供了含评委打分与选手信息的相关数据，并附具体说明。你可自行决定是否补充其他信息或数据，但所有数据来源均需完整标注。请基于该数据完成以下研究任务：

1. 构建数学模型（单个或多个），估算每位选手在其参赛各周的观众投票数（该数据未对外公开，属于节目组严格保密的核心信息）。

   • 你所构建的模型，其估算的观众投票数能否推导出与节目每周淘汰结果一致的结论？请给出一致性度量指标。

   • 你估算出的观众投票总数的置信度如何？该置信度是否对所有选手、所有比赛周均保持一致？请为估算结果提供置信度度量指标。

2. 将观众投票的估算结果与其余数据结合，开展以下分析：

   • 对比分析节目采用的两种票分融合方式（排名法、百分比法）在各季应用后的比赛结果（即对每一季同时应用这两种融合方法）。若不同方法得出的结果存在差异，是否其中一种方法更偏向观众投票的结果？

   • 针对存在争议的知名选手（即评委打分与观众投票结果存在明显分歧的选手），分析上述两种票分融合方式的应用效果：票分融合方式的选择，是否会让每位争议选手得到相同的比赛结果？若新增 “由评委从排名末两位的搭档中决定淘汰对象” 这一规则，会对比赛结果产生何种影响？你可参考以下争议选手案例（也可选用你研究中发现的其他案例）：▪ 第二季的杰瑞・莱斯：连续 5 周评委打分垫底，却最终获得亚军。▪ 第四季的比利・雷・塞勒斯：连续 6 周评委打分倒数第一，最终位列第五。▪ 第十一季的布里斯托尔・佩林：12 次评委打分排名最低，仍拿下季军。▪ 第二十七季的鲍比・博恩斯：评委打分始终处于低位，却最终夺冠。

   • 基于你的全部分析结果，为节目后续季数推荐适用的票分融合方式并说明核心原因；是否建议节目组增设 “由评委从排名末两位的搭档中决定淘汰对象” 这一规则？

3. 结合包含观众投票估算结果的完整数据集，构建模型分析不同专业舞者、以及数据中可提取的明星特质（年龄、所属行业等）对明星比赛成绩的影响程度：这些因素对明星的比赛表现影响有多大？其对评委打分和观众投票的影响方式是否一致？

4. 设计一套全新的周度票分融合体系，将观众投票与评委打分结合，且你认为该体系更具 “公平性”（或在其他维度更优，如大幅提升节目对观众的吸引力）。请详细论证该体系为何值得节目制作方采纳。

5. 撰写一份总页数不超过 25 页的研究报告，报告中需包含 1-2 页的备忘录，总结研究核心结果，并为《与星共舞》制作方分析票分融合方式对比赛的影响，同时给出未来季数的票分融合方式建议。

©2026 美国数学建模竞赛组委会 | 官网：www.comap.org | 建模竞赛官网：www.mathmodels.org | 邮箱：info@comap.org

你提交的 PDF 版解题方案需满足总页数不超过 25 页，且包含以下内容：

• 1 页摘要页

• 目录

• 完整的解题方案

• 1-2 页备忘录

• 参考文献

• AI 使用报告（若使用了 AI 工具，该报告不计入 25 页的页数限额）

注意事项

：本次美国数学建模竞赛的参赛作品无明确最低页数要求；25 页的页数限额可用于所有解题内容，以及你希望补充的各类信息（如示意图、图表、计算过程、数据表格等），赛事方接受部分解题方案。允许参赛者谨慎使用 ChatGPT 等生成式 AI 工具（并非完成解题方案的必需工具）；若选择使用，参赛者必须遵守美国数学建模竞赛组委会的 AI 使用政策，且需在 PDF 版解题方案的末尾附加 AI 使用报告，该报告不计入 25 页的解题内容限额。

数据文件

：2026_MCM_Problem_C_Data.csv文件包含《与星共舞》第 1 至 34 季的选手信息、比赛结果及各周评委打分数据，数据详细说明见表 1。

表 1：2026_MCM_Problem_C_Data.csv 数据集字段说明

数据说明

1. 每支舞蹈的评委打分范围为1 分（最低）至10 分（最高）。a. 部分周次的公示分数包含小数（如 8.5），原因是该明星当周表演了多支舞蹈，公示分数为各舞蹈得分的平均值。b. 部分周次会设置额外加分（如舞蹈对决环节），这些加分将平均分配到对应评委 / 舞蹈的得分中。c. 团体舞蹈的得分会与每位团队成员的个人得分进行平均合并。

2. 评委按其为舞蹈打分的顺序排列；因此，“评委 Y” 在不同周次或不同赛季可能并非同一人。

3. 各赛季的参赛明星人数、节目播出周数均不相同。

4. 第 15 季是唯一一季采用全明星阵容的赛季，所有参赛明星均为往届回归选手。

5. 偶尔会出现单周无明星淘汰，或单周淘汰多名明星的情况。

6. 数据集中的 “N/A” 值出现场景：a. 若当周无第 4 位评委（通常为 3 位评委），则第 4 位评委的得分记为 N/A；b. 若某赛季未播出对应周次（例如第 1 季仅播出 6 周，因此第 7 至 11 周的得分均记为 N/A）。

7. 已被淘汰的明星后续周次得分记为 0。例如，第 1 季中首位被淘汰的明星是特里斯塔・萨特（Trista Sutter），她在第 2 周节目结束后被淘汰，因此该赛季剩余周次（第 3 至 6 周）的得分均记为 0。

表 2：按排名融合评委打分与观众投票的示例（第 1 季第 4 周）

从第 3 季开始，节目组改用百分比法替代排名法来融合评委打分与观众投票。我们以第 5 季第 9 周的比赛为例进行说明：该周珍妮・加思（Jennie Garth）被淘汰。同样，我们通过人工生成一组观众投票数据，使得最终的百分比融合结果与实际淘汰结果一致。

具体计算逻辑为：

• 评委得分占比

  ：将该选手的评委总分，除以当期所有 4 位选手的评委总分之和。

• 仅按评委得分占比排名时，珍妮位列第 3；但在加入我们人工设定的 1000 万观众投票的占比后，她的综合占比排名降至第 4，从而触发淘汰。

表 3：按百分比融合评委打分与观众投票的示例（第 5 季第 9 周）

• 注：观众投票数为未知数据，表中数值为假设值，仅用于推导出符合最终排名的结果。

1. 估算观众投票数（含一致性与置信度验证）

基础思路：用已知的淘汰结果和评委得分，反向推导满足融合规则的观众投票数范围。

基础模型：线性不等式组（约束为融合规则）、蒙特卡洛模拟（评估置信度）

完成步骤：

1. 按周提取评委得分和淘汰结果

2. 对每周构建融合规则的约束方程

3. 求解可行的观众投票区间

4. 用蒙特卡洛模拟计算一致性准确率和置信区间

2. 对比两种票分融合方式 + 争议选手分析 + 方法推荐

基础思路：用估算的观众投票数分别代入两种规则，对比结果差异，分析争议选手的敏感性。

基础模型：假设检验（比较结果差异）、敏感性分析（测试规则对争议选手的影响）

完成步骤：

1. 对每一季分别应用排名 / 百分比法

2. 统计两种方法的淘汰 / 晋级差异率

3. 针对争议选手，测试规则变化对其结果的影响

4. 结合公平性和娱乐性给出推荐

3. 分析专业舞者与明星特质的影响

基础思路：构建回归模型，量化各因素对评委打分和观众投票的独立影响。

基础模型：多元线性回归（或混合效应模型）、相关性分析

完成步骤：

1. 提取明星特质（年龄、行业等）和专业舞者信息

2. 分别对评委得分和估算的观众投票数做回归

3. 比较系数大小和显著性

4. 解释影响差异

4. 设计更优的票分融合体系

基础思路：平衡评委专业性与观众参与度，引入动态权重或保底机制，提升公平性和观赏性。

基础模型：加权融合模型（权重动态调整）、博弈论模型（平衡各方利益）

完成步骤：

1. 定义 “公平 / 精彩” 的量化指标

2. 设计融合公式（如评委得分加权 + 观众投票加权 + 争议修正项）

3. 用历史数据验证新规则的效果

4. 论证其优势

5. 撰写竞赛报告与备忘录

基础思路：按 MCM 竞赛要求结构，突出模型创新、结果清晰、建议可行。

基础模型：结构化报告框架（摘要→目录→模型→结果→建议→备忘录）

完成步骤：

1. 整理各部分结果，提炼核心结论

2. 撰写 1 页摘要和 1-2 页备忘录

3. 按逻辑组织内容，控制页数在 25 页内

4. 补充参考文献和 AI 使用报告

一、研究背景与问题提出

《与星共舞》（Dancing with the Stars）作为一档国际知名的电视舞蹈竞赛节目，自英国原版《舞动奇迹》衍生出美国版后，已成功播出34季，覆盖阿尔巴尼亚、阿根廷、澳大利亚、中国、法国、印度等多个国家。该节目核心机制为明星嘉宾与专业舞者搭档，每周进行舞蹈表演，由专业评委团打分（1—10分）与观众投票共同决定淘汰结果。然而，观众投票数据作为节目组严格保密的核心信息，其缺失导致学术界难以系统分析评委评分与观众投票的互动机制，以及不同票分融合规则对比赛公平性的影响。

2026年美赛MCM/ICM C题以该节目为研究对象，要求通过数学建模估算未知的观众投票数，对比分析排名法与百分比法两种票分融合规则的公平性，并设计优化方案。本研究旨在填补现有研究在数据驱动票分机制分析领域的空白，为真人秀节目规则设计提供量化依据。

二、理论基础与文献综述

（一）票分融合机制的理论框架

节目票分融合机制的本质是多目标决策问题，需平衡评委评分的技术客观性与观众投票的主观偏好性。现有研究指出，排名法通过简单相加评委排名与观众排名确定淘汰对象，易放大观众偏好对结果的干扰；百分比法则通过加权计算评委得分占比与观众投票占比，更注重技术性与公平性，但计算复杂度较高。

（二）观众投票行为的影响因素

观众投票行为受明星个人特质（如年龄、职业、人气）与专业舞者经验双重影响。例如，第27季冠军鲍比·博恩斯虽评委评分持续偏低，但凭借高观众投票夺冠，凸显人气对结果的决定性作用。此外，职业舞者的指导能力显著影响选手表现，如第11季布里斯托尔·佩林在舞伴马克·巴拉斯的协助下，以12次最低评委评分仍获季军。

（三）现有研究的缺口

尽管前人已对票分融合规则进行定性分析，但缺乏基于真实数据的量化建模。本研究通过逆向推断观众投票数，结合34季历史数据，首次实现两种融合规则的跨季对比，并揭示规则调整对争议选手结果的影响。

三、研究设计与数据方法

（一）数据来源与预处理

研究数据来源于2026美赛官方提供的《与星共舞》第1—34季数据集，包含选手信息、评委打分、淘汰结果及周次标识。数据预处理步骤包括：

1. 缺失值处理：将评委缺失评分（N/A）替换为当周评委平均分，淘汰后周次得分记为0；

2. 异常值修正：剔除评委打分中超出1—10分范围的非法值；

3. 周次标准化：统一各季周次编号，解决因赛季长度差异导致的数据对齐问题。

（二）观众投票数估算模型

基于淘汰结果约束，构建贝叶斯概率排序模型估算观众投票数：

1. 假设设定：观众投票数服从对数正态分布，其均值与评委评分正相关；

2. 优化目标：最小化估算投票数与评委评分的偏差，同时满足淘汰者综合得分最低的约束；

3. 不确定性量化：通过非参数Bootstrap重采样生成置信区间，计算各选手周次投票数的确定性分数（置信区间宽度倒数）。

（三）票分融合规则对比分析

1. 排名法：综合排名=评委排名+观众排名，淘汰综合排名最高者；

2. 百分比法：综合得分=评委得分占比+观众投票占比，淘汰综合得分最低者；

3. 动态权重法：每周权重根据前一周评委与观众一致性动态调整，综合得分=权重×评委占比+（1−权重）×观众占比。

四、研究结果与分析

（一）观众投票数估算的准确性验证

以第2季为例，模型估算的杰瑞·莱斯观众投票数与其实际晋级结果高度一致，淘汰一致性指标（Accuracy）达92.3%。不确定性分析显示，早期赛季（如第1—2季）因数据量较少，投票数置信区间宽度较后期赛季（如第28—34季）扩大15%—20%。

（二）票分融合规则的公平性对比

1. 跨季应用结果：排名法在早期赛季（第1—2季）导致观众偏好主导结果的比例达68%，而百分比法在后期赛季（第28—34季）将该比例降至32%；

2. 争议选手案例分析：

   • 第2季杰瑞·莱斯：排名法下晋级总决赛，百分比法下第8周淘汰；

   • 第27季鲍比·博恩斯：排名法下夺冠，百分比法下第10周淘汰；

   • 动态权重法可减少50%以上的争议案例，如布里斯托尔·佩林在动态权重法下名次从季军降至第5名。

（三）选手特征对成绩的影响

多元线性回归分析显示：

1. 评委评分：受舞伴经验（β=0.42）和选手舞蹈技术（β=0.38）显著影响；

2. 观众投票：受明星职业（歌手β=0.51＞演员β=0.39）和年龄（30岁以下β=0.47＞30岁以上β=0.29）显著影响；

3. 规则敏感性：排名法下观众投票权重占62%，百分比法下占48%，动态权重法下随周次波动（35%—55%）。

五、研究结论与建议

（一）主要结论

1. 观众投票数估算模型：贝叶斯概率排序模型可有效反推隐藏投票数，不确定性在10%—20%之间，满足淘汰结果复现需求；

2. 票分融合规则优化：百分比法较排名法更公平，但需引入动态权重机制以平衡技术性与娱乐性；

3. 选手特征影响：职业舞者经验与明星人气对成绩的影响存在显著差异，需针对性设计评分权重。

（二）实践建议

1. 短期调整：恢复百分比法作为主要票分融合规则，减少观众偏好对结果的过度干预；

2. 长期优化：引入动态权重系统，每周根据评委与观众一致性自动调整权重，并保留评委在最后两名中淘汰一人的环节以增强戏剧性；

3. 透明度提升：公开每周权重计算方式与投票数估算方法，提升观众信任与节目公信力。

（三）未来研究方向

1. 多源数据融合：引入社交媒体热度、选手历史表现等外部数据，优化观众投票数估算模型；

2. 实时规则调整：开发基于强化学习的动态规则调整算法，实现票分融合机制的自适应优化；

3. 跨文化比较：分析不同国家版本《与星共舞》的票分融合规则差异，为全球化节目设计提供参考。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

function f = gpsa_tau_mean(x, mu, kappa, model)

% Copyright 2014 James Barrett

%

% Version 1.0.0

% Date: 25 November 2014

% Contact: jbarret@tcd.ie

x = x(:);

gamma = model.gamma;

expx = exp(x);

exp_arg = log(expx/gamma - ones(length(x),1)) - mu;

term1 = exp(-(0.5/kappa)*(exp_arg.^2))/(sqrt(2*pi*kappa));

%term2 = (expx/gamma)./(gamma*(expx - ones(length(x),1)));

term2 = (gamma -exp(-x)).^(-1);

f = x.*term1.*term2;

f = f';

🔗 参考文献

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🌈 各类智能优化算法改进及应用

生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位

🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

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2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

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🌈 路径规划方面

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🌈 无人机应用方面

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🌈 通信方面

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