一、波的空间描述
在前面的“希尔伯特和包络定理”中对信号的变换进行了一些了解。波的处理是信号系统中一个重要的部分。为了更好的理解波和信号，可以将它们更形象化的说明。大家都知道，波是信号的连续描述。那么波的常见描述里有正弦波和余弦波两种。从数学的角度来看：
- 正弦和余弦曲线
正弦曲线可以看做一个平面上，单位圆上任意一点在旋转时其正弦值（y轴坐标值），相对于时间t的变化曲线。同样，余弦曲线可以看做是余弦值在x轴上随着时间t的变化曲线。这也是当初学习正弦和余弦相关数学知识时，x,y来历的说明。 - 螺旋曲线
如果把单位圆放在一个三维空间中，单位上的任意一点旋转时，随着时间轴（Z轴）的变化，会形成一条螺旋状的曲线。当把这条螺旋曲线从侧面（y轴投影）看时就是一条正弦曲线，上面（x轴投影）看时则是一条余弦曲线。也就是说可以看螺旋曲线看成正弦曲线和余弦曲线的叠加。
通过上面的说明可以看出，无论是正弦波还是余弦波还是螺旋波，都与时间的变化有着密切的关系，它的本质就是一个周期性的变化。这就与物理的波在数学上产生了联系。也是后来的傅立叶变换（时频转换 ）的基础。
二、滤波
所谓滤波，Filter。很好理解,都见过筛子吧，没见过的也见过用纱布或纸来过滤水吧。一个道理，把不需要的信号“筛”一下，过滤走就是滤波。不过话说起来容易，做起来不简单啊。从数学上看，信号波可以看成不同频率的信号波叠加而成的（看看包络和惠更斯定理），而滤波器就是把这些叠加的不同的信号波有选择性的进行处理。这种处理可能是通过也可能是衰减。常见的滤波类型(不同的角度可能划分很多，主要说明下面种类)有：
- 低通滤波即允许低频信号通过但高频不允许，比如去除收音机中的啸叫声
- 高通滤波则正好相反，只允许高频通过，而低频不允许，比如去除收音机的中嗡嗡声
- 带通滤波更好理解，比如电视和收音机的调台，就是允许指定频段的信号通过，衰减其他频段的信号
- 带阻滤波与带通相反，衰减某个频段信号，让其他频段信号通过。比如去除特定频率信号的干挠
滤波根据信号的类型又可以分为模拟和数字滤波两类。 - 模拟滤波即使用电阻、电容、电感等电子元件搭建的电路直接处理信号
- 数字滤波即使用计算机或数字芯片对采样后的离散数字信号进行运算处理
现代基本是以数字滤波为主，但模拟滤波在某些场景下相当重要。不过对于非信号专业的人基本可以忽视。
三、FIR和IIR
数字滤波可分为FIR（有限脉冲响应）和IIR（无限脉冲响应）两种。其具体的特性为：
- FIR
有限脉冲响应，就是向这个滤波器输入脉冲信号后，其输出经过有限个样本后归零。它只依赖输入信号，不依赖过去的输出值。说直白一些就是它是收敛的，可控的，“一锤子买卖”。其主要特点为：
1）稳定性：因为没有反馈回路，只受限输入
2）线性相位性：当脉冲满足对称性时，滤波器对所有频率分量的延迟相同，信号波形无相位失真
3）灵活性：满足任意幅频响应的设计
其实就是移动加权平均扩展（卷积）的结果。 - IIR
无限脉冲响应，就是当前的输出不仅取决于当前和过去的输入还取决于过去的输出值，即存在反馈。这种反馈很容易理解为循环（所以称无限）。它的特点主要是递归设计、可能不稳定、相位非线性、计算效率高（阶数低）以及可实现模拟滤波器的移植等
FIR在实际中的优点是结构简单、稳定、线性相位，但缺点也比较明显，需要较高阶数。而IIR则高效、低阶实现陡峭幅频为优势，缺点是但有稳定性与相位非线性问题。需要说明的是，很多情况下，二者是会结合各自的优点进行组合使用的，即这两种滤波方式不是互斥的。
四、FIR的公式及说明
FIR是一种比较常见的数字滤波方式，其核心的公式是：
其中y[n]表示输出信号在时刻n的样本,x[n-k]表示输入信号延迟k个样本后的值，bk是滤波器系数或脉冲响应值，N是阶数即系数的数量。
这个公式本质上是一个卷积运算，它也是数字滤波的典型实现方式。
五、总结
信号处理中，滤波是很复杂的，此处为初步探索，没有深入的进行分析和说明。其中可能有些描述和说明没有切中要害，如果发现问题欢迎及时沟通，共同进步。
