21、探索 Spekkens 玩具理论及其张量积空间

探索 Spekkens 玩具理论及其张量积空间

1. Spekkens 玩具理论基础

想象一个球可以位于四个盒子中的任意一个。这个系统的状态由四个概率 $(p_1, p_2, p_3, p_4)$ 来描述。极端状态就是球确定位于某一个盒子中的状态。此时，状态空间是一个单纯形，由四个纯态及其混合态组成，可表示为一个四面体。

现在，对状态制备施加一个限制：球位于任意一个盒子中的概率不能超过 $\frac{1}{2}$。这个限制就像把四面体的顶点切掉，剩下一个八面体，其顶点是原四面体状态空间各条边的中点。这六个状态是新状态空间的极值点，也就是球的概率在两个盒子中平均分配的状态，它们是 Spekkens 构建的玩具理论中基本系统的纯态，即“最大知识状态”。

在 Spekkens 的理论中，不允许这些纯态的任意混合，只允许概率在四个盒子中平均分配的状态作为混合态。但这似乎是一个不必要的限制，而且如果将这些状态解释为可能的知识状态，其连贯性也值得怀疑。因为一个将状态视为知识状态的理论应该包含非最大知识状态。

例如，假设 Alice 对一个基本系统的信念状态是 Spekkens 最大知识状态，而 Bob 除了知道 Alice 的信念状态是 $\rho_1$ 或 $\rho_2$ 之外，对该系统一无所知，并且 Bob 对前者的置信度为 $\lambda$，对后者为 $1 - \lambda$，那么 Bob 关于该系统的认知状态就是相应的最大知识状态的混合。

因此，我们采用 Halvorson 建议的 Spekkens 纯态的凸包作为状态空间，也就是我们刚刚描述的八面体。需要注意的是，虽然我们从单纯形开始，但最终得到的状态空间并不是单纯形。特别是中心的最大混