使用克罗托夫函数进行快速合成轨迹的优化
1. 基础概念与定理
在动态系统的研究中，一些关键的概念和定理为后续的分析奠定了基础。首先，第 (n) 相坐标描述了质量的变化，存在如下关系：
(\xi_{i}+\sum_{j = 1}^{r_{i}}\xi_{ij}=1)（(i = 1,\cdots,k)），且 (0<\xi_{\beta}<1)，其中 (\beta = i,ij)。
从定理 6 可以推导出关于极小值的定理 8。定理 8 指出，对于任务 (40)–(46)、(48) 的可允许过程 ((\hat{\beta x}(t),\hat{\beta u}(t),\hat{t}{0},\hat{t}{\beta};\beta = i,ij,i = 1,\cdots,k;j = 1,\cdots,r_{i})) 要成为最优过程，充分条件是存在关于 ((\beta x,t)) 连续可微的克罗托夫函数 (\Psi_{\beta}(\beta x,t))（(\beta = i,ij,i = 1,\cdots,k;j = 1,\cdots,r_{i})），这些函数需满足以下条件：
(S_{\psi,\beta}(\hat{\beta x}(\hat{t}{\beta}),\hat{t}{\beta};\beta x(t_{\beta}^{}),t_{\beta}^{})=\hat{S}{\psi,\beta}(\beta x(t{\beta}^{}),t_{\beta}^{}))
(R_{\beta}(\hat{\beta x},\hat{\b
