实用数学手册(v2)-1.1.8:合分比定理证明

实用数学手册(v2)-1.1.8:合分比定理证明

设k=a+ba−bk = \frac{a + b}{a - b}k=a−ba+b​，则a+b=k(a−b)a + b = k(a - b)a+b=k(a−b)。
化简得到：
a+b=ka−kba + b = ka - kba+b=ka−kb，
a−ka=−b−kba - ka = -b - kba−ka=−b−kb，
a(1−k)=−b(1+k)a(1 - k) = -b(1 + k)a(1−k)=−b(1+k)，
ab=1+k1−k\frac{a}{b} = \frac{1 + k}{1 - k}ba​=1−k1+k​。
同样地，设m=c+dc−dm = \frac{c + d}{c - d}m=c−dc+d​，则c+d=m(c−d)c + d = m(c - d)c+d=m(c−d)。
化简得到：
c+d=mc−mdc + d = mc - mdc+d=mc−md，
c−mc=−d−mdc - mc = -d - mdc−mc=−d−md，
c(1−m)=−d(1+m)c(1 - m) = -d(1 + m)c(1−m)=−d(1+m)，
cd=1+m1−m\frac{c}{d} = \frac{1 + m}{1 - m}dc​=1−m1+m​。
根据题设，a+ba−b=c+dc−d\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}a−ba+b​=c−dc+d​，即k=mk = mk=m。
因此，1+k1−k=1+m1−m\frac{1 + k}{1 - k} = \frac{1 + m}{1 - m}1−k1+k​=1−m1+m​。
由ab=1+k1−k\frac{a}{b} = \frac{1 + k}{1 - k}ba​=1−k1+k​和cd=1+m1−m\frac{c}{d} = \frac{1 + m}{1 - m}dc​=1−m1+m​，且k=mk = mk=m，可以得出：
ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​。
交叉相乘得到ad=bcad = bcad=bc，再同时加上acacac且同时减去acacac，即：
ad+ac=bc+acad+ac= bc+acad+ac=bc+ac，
ac+bd−ac+ad=ac+bd−ac+bcac+bd-ac+ad= ac+bd-ac+bcac+bd−ac+ad=ac+bd−ac+bc，
整理得到：
a+bb=c+dd\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}ba+b​=dc+d​，
同理，交叉相乘得到ad=bcad = bcad=bc，再同时加上bdbdbd且同时减去bdbdbd，即：
ad+bd=bc+bdad+bd= bc+bdad+bd=bc+bd，
ad+bd−bd+ab=bc+bd−bd+abad+bd-bd+ab= bc+bd-bd+abad+bd−bd+ab=bc+bd−bd+ab，
整理得到：
a−bb=c−dd\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}ba−b​=dc−d​，
两式相比即可得到：
a+ba−b=c+dc−d\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}a−ba+b​=c−dc+d​。
所以，合分比定理得汪。