线性代数（八）非齐次方程组的解的结构

给定方程组，写出增广矩阵，，消元化为阶梯型矩阵，

可得，显然首先要保证方程组才可能有解决。

设，，。

进一步探讨方程组有解的条件，由之前的知识可知，b向量必须是A的列向量空间的子空间，方程组才有解；即b向量必须可以通过A的列向量线性组合而成，方程组才有解。

观察阶梯型系数矩阵，可知主元有两个，分别为x1、x3，则rank=2；主列则为第一列、第三列；

可令自由元x2、x4都等于0，则方程组可以简化为，易得解为

因为自由元有两个，还需要找两个齐次方程组得自由解。我们不妨用上一讲介绍的方法来求解。先把矩阵化为R(主列相邻的行最简形式)

，其中；则解，由于该方程组有两个自由元，则有两组基础解系，分别为和；由于x2、x3互换了位置，所以需要换回来，则解为和。两组齐次方程组的基础解系加上一个非齐次方程组的特解，构成非齐次方程组的所有解（这里有一个有趣的问题，为什么非齐次方程组的解只需要一个特解呢？），即。

齐次方程组的解集：，这显然构成了中的子空间，由于有两个自由系数c、k，则该子空间是一个二维平面。加上一个特解之后，代表对这个平面进行了平移，则非齐次方程组的解集构成了另一个平面，但此时其却并不构成子空间。

接下来我们进行更广义的非齐次方程组求解。

矩阵大小为，，r为主元个数，显然r<=m，因为主元个数不可能超过行数；r<=n，主元个数也不可能超过列数，每一列最多有1个主元。分类讨论：

1.，即列满秩。

列满秩意味着所有列都是主列，不存在自由元，此时零空间只有零向量，则方程组的解只有特解，且特解仅有一个；如特解不存在，则为0个。所以此时方程组解只有0个或1个。

如，该矩阵列满秩，则该矩阵可以化为，如果此时b为A的两列的线性组合，方程组有唯一解；如果b不为其线性组合，如，显然此时方程组是无解的。

2.，即行满秩；如果矩阵行满秩，那么行数必然大于列数，即m<=n;因为rank<=min(m,n)

行满秩意味着每一行都有主元，这意味着经过消元之后系数矩阵中不会出现纯0行，此时对于任意b方程组都有解(关于为什么恒有解有多种方法证明；如b的维度必然等于m，而线性无关的列向量数目为m，因此m个线性无关的列向量必然可以找到组合出m维的b的方法)。

如果m<n，那么则有n-r个自由变量，对应齐次方程组中的n-r个基础解系，

如果m=n,即m=r=n，系数矩阵A可逆，矩阵必然有唯一解。

3.r<m<n或者r<n<m

要么矩阵无解，要么矩阵有无穷组解。