李代数求导)
视觉SLAM十四讲解读-(v2.p84)李代数求导
1. 问题背景和目标
在考虑SO(3)SO(3)SO(3)上的情况时，对空间点p\boldsymbol{p}p进行旋转得到RpR\boldsymbol{p}Rp，目标是计算旋转之后点的坐标相对于旋转矩阵RRR的导数∂(Rp)∂R\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial R}∂R∂(Rp)。由于SO(3)SO(3)SO(3)没有加法，不能按导数定义直接计算，所以通过将RRR对应的李代数记为ϕ\phiϕ，转而计算∂(exp(ϕ∧)p)∂ϕ\frac{\partial(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})}{\partial \phi}∂ϕ∂(exp(ϕ∧)p)。
2. 根据导数定义展开
按照导数的定义：
∂(exp(ϕ∧)p)∂ϕ=limδϕ→0exp((ϕ+δϕ)∧)p−exp(ϕ∧)pδϕ\frac{\partial(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})}{\partial \phi}=\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{\exp((\phi + \delta\phi)^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}∂ϕ∂(exp(ϕ∧)p)=limδϕ→0δϕexp((ϕ+δϕ)∧)p−exp(ϕ∧)p
这一步是导数定义的基本应用，分子是函数在ϕ+δϕ\phi+\delta\phiϕ+δϕ和ϕ\phiϕ处的函数值之差，分母是自变量的增量δϕ\delta\phiδϕ，通过取极限δϕ→0\delta\phi\to0δϕ→0来得到导数。
3. 利用李代数指数映射的性质
根据李代数指数映射的性质exp((ϕ+δϕ)∧)=exp((Jlδϕ)∧)exp(ϕ∧)\exp((\phi+\delta\phi)^{\wedge})=\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})exp((ϕ+δϕ)∧)=exp((Jlδϕ)∧)exp(ϕ∧)（这里JlJ_lJl是左雅可比矩阵），则：
limδϕ→0exp((ϕ+δϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)pδϕ=limδϕ→0exp((Jlδϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)pδϕ\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{\exp((\phi + \delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}=\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}limδϕ→0δϕexp((ϕ+δϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p=limδϕ→0δϕexp((Jlδϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p
此步骤利用了上述指数映射的性质，将exp((ϕ+δϕ)∧)\exp((\phi+\delta\phi)^{\wedge})exp((ϕ+δϕ)∧)进行了替换，以便后续化简。
4. 利用近似和单位矩阵性质
当δϕ\delta\phiδϕ很小时，exp((Jlδϕ)∧)≈I+(Jlδϕ)∧\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})\approx\boldsymbol{I}+(J_l\delta\phi)^{\wedge}exp((Jlδϕ)∧)≈I+(Jlδϕ)∧（这是指数映射在小量情况下的近似展开），则：
limδϕ→0(I+(Jlδϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)pδϕ\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{(\boldsymbol{I}+(J_l\delta\phi)^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}limδϕ→0δϕ(I+(Jlδϕ)∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p
=limδϕ→0(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)pδϕ=\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}=limδϕ→0δϕ(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)p
这里先将exp((Jlδϕ)∧)\exp((J_l\delta\phi)^{\wedge})exp((Jlδϕ)∧)用近似式替换，然后对分子进行化简，Iexp(ϕ∧)p\boldsymbol{I}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}Iexp(ϕ∧)p与−exp(ϕ∧)p-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}−exp(ϕ∧)p相消，剩下(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)p(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)p。
5. 利用反对称矩阵性质
根据反对称矩阵性质a∧b=−b∧aa^{\wedge}b=-b^{\wedge}aa∧b=−b∧a，则(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)p=−exp(ϕ∧)p∧Jlδϕ(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}= - \exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}^{\wedge}J_l\delta\phi(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)p=−exp(ϕ∧)p∧Jlδϕ，所以：
limδϕ→0(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)pδϕ=limδϕ→0−(exp(ϕ∧)p)∧Jlδϕδϕ=−(Rp)∧Jl\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{(J_l\delta\phi)^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\delta\phi}=\lim_{\delta\phi \to 0}\frac{-(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})^{\wedge}J_l\delta\phi}{\delta\phi}=-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}J_llimδϕ→0δϕ(Jlδϕ)∧exp(ϕ∧)p=limδϕ→0δϕ−(exp(ϕ∧)p)∧Jlδϕ=−(Rp)∧Jl
这一步先利用反对称矩阵性质对分子进行变形，然后分子分母中的δϕ\delta\phiδϕ在取极限时，δϕδϕ=1\frac{\delta\phi}{\delta\phi}=1δϕδϕ=1，最终得到结果−(Rp)∧Jl-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}J_l−(Rp)∧Jl，其中R=exp(ϕ∧)R = \exp(\phi^{\wedge})R=exp(ϕ∧)。
综上，通过以上详细推导步骤，得到了∂(exp(ϕ∧)p)∂ϕ=−(Rp)∧Jl\frac{\partial(\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p})}{\partial \phi}=-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}J_l∂ϕ∂(exp(ϕ∧)p)=−(Rp)∧Jl，也就是旋转之后点的坐标相对于旋转李代数的导数表达式。
