【高等数学】【强化第二章】一元函数微分学：导数与微分、导数应用、极值最值判断

一. 导数与微分

1. 内容要点

1.1. 导数与微分的概念

• 导数定义的等价形式

• 左导数、右导数的概念

可微的充要条件：可导

1.2. 导数与微分的几何意义

导数表示斜率、微分表示切线上的增量

1.3. 连续、可导、可微之间的关系：可微与可导之间等价

1.4. 求导公式与求导法则

求导法则

a. 复合函数求导

链式法则

b. 隐函数求导

两种方式

c. 反函数的导数

导数的倒数

d.参数方程

e. 对数求导法

f. 常见高阶导

2. 题型与做题技巧

题型一：导数与微分的概念

1. 利用导数定义求极限

1. 凑1 ∞ 1^∞1∞形式，求极限值，带回e，得解。

直接洛必达

1. 求切点斜率
2. 变换式子为无穷小，然后洛必达

2. 利用导数定义求导数

方法1. 利用定义求极限
方法2. 直接求导观察

利用导数定义，转换成求极限

注意：分段函数在分界点处一定要用导数定义求。

3. 利用导数定义判断可导性

B：注意连续的条件
D：反例：f=|x|

基于f凑导数形式。

• 学会：拆分并简化问题
  

利用导数定义，判断在不同点是否可导。
做题心态：别着急做，要给这道题认真的态度，别跳步。

• 利用导数定义:
  利用立方差公式，约掉x-1。
  

1. 直接举一个例子

根据极限的特性，画出fx的图像，不可导点，一目了然

1. 按照导数定义
2. 按照导数定义+f二阶可导。

题型二：导数的几何意义

方程组（两边对x求导）、参数方程（对t求导，然后除以）的求导法则

极坐标公式求导：（极坐标分别转为y、x，然后参数方程求导）

题型三：导数与微分的计算（见三大计算）

二. 导数应用

1. 内容要点

a. 四大微分中值定理

b. 极值与最值

定义：

因为涉及到领域，极值只能在开区间中取到

极值的必要条件

1. 导数=0
2. 所有可能的极值点:

• 对于可导函数，所有可能的极值点：驻点
• 对于一般函数，所有可能的极值点：驻点和导数不存在的点
• 判断需要通过充分条件。

极值的三个充分条件

求最值的方法

c. 曲线的曲向与拐点

凹凸性的判断

拐点
定义、必要条件、充分条件

d. 渐进线与曲率

渐近线

平面曲线的曲率

求曲率的公式

2.题型与做题技巧

a. 函数单调性、极值与最值（大题）

例题1: 积分函数求极值

1. 求导，找出所有驻点和不可导点
2. 看左右导数符号，判断极值。
   对于积分函数求导：注意：
   • 被积函数中不能含有积分上下限变量，要注意分开。
   • 求导时把变量x看成常数。
   • 积分上下限本身也要求导。

例题2: 方程组求极值

1. 方程左右两边对x求导，然后令y’的一阶导=0，求出驻点
2. 因为判断不出导数变化，所以求二阶导判断。

（保号性）得二阶导>0，一阶导递增，又因为一阶导=0，所以一阶导先小于0，然后再大于0

例题3：抽象方程判断极值

1. 思路：极值点，则一阶导=0，分离方程，找到一阶导和二阶导的关系，分析二阶导的正负，进而判断出是极小值还是极大值
2. 利用一题：直接求右式极值，判断出正负，进而判断出极值。

b. 曲线的凹向、拐点、渐进线及曲率（大题）

c. 方程根的存在性与个数（大题）

d. 证明函数不等式（见证明专栏）

e. 微分中值定理有关的证明题（见证明专栏）